Cómo encontrar el valor máximo y mínimo de una función

Answer 1

Existen varios métodos para encontrar el valor máximo o mínimo de una función.

Uno de los métodos convencionales es:

1. Encuentre la derivada de la función y equípela a cero.
2. Encuentra las raíces de la ecuación diferenciada.
3. Haga doble diferenciación de la función original y sustituya los valores de las raíces en la segunda expresión diferenciada.
4. Si el valor resulta negativo, se produce el valor particular de la raíz Máximo . Luego sustituya el valor en la expresión original para obtener el máximo de la función.
5. Si el valor de la derivada doble después de sustituir la raíz es positivo, se produce el mínimo . Luego, sustituya el valor en la ecuación original para obtener el valor mínimo de la función .
6. Si la segunda derivada es cero: entonces busque derivadas más altas de la función y sustituya el valor de la raíz en la expresión de derivada de enésimo orden. Si es positivo, daría el Máximo de la función en la raíz particular.

Espero que la respuesta ayude.

Answer 2

Supongamos que la función es una sola función variable.

Puede encontrar el máximo local y el mínimo local de la función siguiendo los siguientes pasos.

1. Encontrar puntos críticos: tiene derivada de la función y establece que la derivada es igual a cero y resuelve la ecuación. Obtendrás las raíces de la ecuación. Las raíces se llaman puntos críticos.
2. En los puntos críticos, la función tiene Máximo local o Mínimo local, debe determinar los puntos utilizando una segunda prueba derivada.
3. Encuentre la segunda derivada de la función y evalúela en los puntos críticos simplemente sustituyendo el punto crítico en la segunda derivada de la función.
4. El valor de la segunda derivada en el punto crítico es positivo , eso significa que la gráfica de la función es cóncava hacia arriba. Entonces, la función tiene un valor mínimo en este punto. Eso es mínimo local.
5. El valor de la segunda derivada en el punto crítico es negativo , eso significa que la gráfica de la función es cóncava hacia abajo. Entonces, la función tiene un valor mínimo en este punto. Ese es el máximo local.
6. El valor de la segunda derivada en el punto crítico es cero , no podemos determinar cuál es el valor que tiene esa función. Entonces, se llama un punto Saddle.
7. Si tiene un dominio, verifique el valor de la función en los extremos del dominio y compare los valores con la función que encontramos en los puntos críticos. El valor más grande, el valor máximo y el más pequeño, es mínimo.

Espero que puedas entender ahora 🙂

Answer 3

Hay varios métodos para hacer esto. La forma más fácil es usar cálculo diferencial e intentar trazar la curva. Tarun Desu ya ha indicado los pasos involucrados, pero solo es cierto para funciones en una sola variable como y = f (x).

Para funciones en variables múltiples, como z = f (x, y) y z = f (x, y, z ……) las cosas se vuelven más complejas y es más difícil visualizar estas funciones. De todos modos, el concepto sigue siendo el mismo.

Entonces, aquí está el método para funciones de dos variables:

1. Encuentre diferenciales parciales de la función f (x, y) wrt x e y y equípelos a cero. Habrá dos ecuaciones: [matemáticas] f_x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_y = 0 [/ matemáticas]
2. Resuelve estas dos ecuaciones simultáneamente en x e y. Sea (a, b) (c, d) … el par de valores
3. Calcular: [matemática] r = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} [/ matemática], [matemática] s = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ parcial y \ parcial x} [/ math] y [math] t = \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y ^ 2} [/ math] para (a, b) (c, d) …
4. Ahora si [math] rt-s ^ 2> 0 [/ math] y [math] r <0 [/ math], entonces f (a, b) es máximo. Si [math] rt-s ^ 2> 0 [/ math] y [math] r> 0 [/ math] entonces f (a, b) es mínimo. Si [math] rt-s ^ 2 <0 [/ math] entonces f (a, b) es un punto de silla de montar

Puede aplicar los pasos anteriores para el siguiente ejemplo:

[matemáticas] f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 4 – 2x ^ 2 + 4xy – 2y ^ 2 [/ matemáticas]

El gráfico de la función anterior es

Answer 4

Deje un ejemplo Encuentre los valores máximo y mínimo de la función f (x) = x – 125x / (x + 5) en el intervalo [0, 23].

f (x) = x – 125x / (x + 5)

df (x) / dx = 0 para valores máximos y mínimos
1 – ((x + 5) 125 – 125x) / (x + 5) ^ 2 = 0
(x + 5) ^ 2 = 5 * 125 = 625
x + 5 = 25 o -25
x = 20, -30

Pero x está en el intervalo [0,23]
entonces x = 20 es el valor extremo
f (20) = 20-100 = -80
f (0) = 0

Entonces, el valor mínimo de f (x) en el intervalo [0.23] es -80 en x = 20 y el valor máximo de f (x) en el intervalo [0,23] está en cero, que es 0.

La función entre -30 y 20 está disminuyendo porque no hay mínimos y máximos locales entre ellos.

Después de x = 20 la función está aumentando.
f (23) = 23 – 125 * 23/28 = -79.67857 entonces f (0) es el valor máximo en el intervalo [0,23]

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Answer 5

Diferenciar la función con respecto a la variable independiente, equiparar el resultado a cero. Resuelve la ecuación, obteniendo así valores para x.

Calcule los valores de x, x1 y x2…. Sustituya estos valores en la segunda derivada de la función original. Si su resultado después de la sustitución es menor que 0. Entonces tiene un punto máximo, mayor que cero, tiene un mínimo.