Cómo hacer que la norma en el espacio vectorial V induzca la métrica d (v, w) = norma vw. demostrar que la topología métrica convierte a V en un espacio vectorial topológico

Answer 1

Use las propiedades de la norma para mostrar que se cumplen las propiedades de una métrica. Sabes que una norma satisface:

1. [matemáticas] \ | x \ | \ geq 0 [/ matemáticas] con igualdad si y solo si x = 0
2. || ax || = | a | * || x ||
3. [matemáticas] \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ | [/ matemáticas]

Úselos para demostrar que la métrica inducida d (x, y) = || xy || cumple los requisitos:

1. [matemáticas] \ | xy \ | \ geq 0 [/ matemáticas] con igualdad si y solo si x = y
2. [matemáticas] \ | xy \ | = \ | yx \ | [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ | xz \ | \ leq \ | xy \ | + \ | yz \ | [/ matemáticas]

Los detalles te quedan a ti. Es un ejercicio simple.

Luego, utiliza la métrica inducida para crear una topología con bolas abiertas como base para el conjunto abierto. Es decir, los conjuntos abiertos en la topología métrica son uniones arbitrarias de intersecciones finitas de conjuntos de la forma [math] \ {y: \ | xy \ | <r \} [/ math] para [math] r \ geq 0 [/ matemáticas] yx en el espacio vectorial. Luego demuestre que las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos también están abiertas y las intersecciones finitas de conjuntos abiertos también están abiertas, que se deducen inmediatamente de la definición. Verifique que la configuración r = 0 produce que el conjunto vacío sea un conjunto abierto, y al tomar una unión de bolas de radio creciente centrado en 0, puede ver que todo el espacio también está abierto.