Como dijo Juan en su respuesta, hay muchas formas en que las matemáticas y la música chocan, y el álgebra abstracta, especialmente, ha sido bastante popular en la comunidad de la teoría musical desde hace bastante tiempo. En cuanto al álgebra lineal, las conexiones parecen menos destacadas. A continuación, he pegado (con ligeras ediciones) mi respuesta a ¿Se utiliza el álgebra lineal en la teoría de la música / composición musical ?, ya que coincide decentemente con esta pregunta:
El álgebra lineal no tiene ninguna aplicación directa a la música (teoría) hasta donde yo sé. Sin embargo, he estado pensando en una conexión bastante abstracta (es decir, en el nivel de una analogía en lugar de una aplicación directa). En álgebra lineal, tenemos el concepto de una base , que es simplemente una lista de expansión linealmente independiente que describe un espacio vectorial. Recuerde que a menudo hay bases múltiples (y dadas ciertas restricciones, incluso infinitas ) (plural de bases) para un espacio vectorial dado. Por ejemplo, [math] {(0,1), (1,0)} [/ math] es una base para [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], como lo es [math] {(1 , 1), (-1,2)} [/ matemáticas].
En la música tonal, tenemos el concepto de una clave y, por encima de eso, una tonalidad (un grupo de claves relacionadas por la pertenencia a una estructura escalar diatónica), y de manera similar, hay varias formas de ‘confirmar’ una clave mediante una serie de acordes progresiones, y algunas son más económicas que otras. La ‘base’ más básica de una clave (quizás análoga a una base estándar ) sería una cadencia Ⅴ – Ⅰ, pero de ninguna manera es la única. Ⅳ – Ⅰ (una cadencia plagal) podría confirmar una clave, y en la música de Wagner, también puede ⅱ – Ⅴ⁷ (media cadencia). (Ver el Capítulo 3 de Estructuras musicales en la Ópera de Wagner) para una explicación brillante de cómo se describen los motivos a través de modulaciones de media cadencia en Tristan und Isolde .) En el nivel de tonalidades, las modulaciones a ciertas teclas pueden confirmar las tonalidades; por ejemplo, se puede decir que una pieza musical que va de do mayor a sol mayor a mi mayor tiene una tonalidad dominante de do mayor, mientras que una sección en mi [matemática] \ plana [/ matemática] mayor (o menor) Sugerir una tonalidad gobernante de do menor. Por lo tanto, podemos ver que existen varias formas distintas de describir / confirmar una clave, así como hay varias formas diferentes de describir un espacio vectorial.
Como el álgebra lineal considera las bases estándar / normales como la forma más compacta y conveniente de describir espacios vectoriales, la cadencia perfecta Ⅴ – Ⅰ cumple una función similar en la música tonal, es decir, confirmando una clave de forma explícita y sin ambigüedades. Pero en contraste con el álgebra lineal (¡que no es un arte, por cierto!), Donde generalmente se desea una base estándar sobre una más rebelde, los compositores a menudo explotan las ambigüedades tonales para crear música interesante. Por ejemplo, si una pieza musical tiene dos acordes en sucesión, digamos, A menor y C mayor, sin énfasis métrico en uno u otro, ¿cómo sabemos si estamos en la clave de A menor (en cuyo caso el la progresión sería ⅰ – Ⅲ en el menor natural) o do mayor (en cuyo caso la progresión sería ⅵ – Ⅰ)? No lo hacemos (descontando la rareza de la escala menor natural en progresiones armónicas), y se puede decir que esto crea interés musical.
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En cualquier caso, esta conexión es simplemente un paralelo interesante que vi en lugar de una “aplicación”.