¿Por qué las matrices Dirac / gamma están compuestas de matrices Pauli?

Answer 1

Una característica importante de las matrices Pauli [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemáticas] es que anticomutan:

[matemáticas] \ {\ sigma_ \ mu, \ sigma_ \ nu \} = \ sigma_ \ mu \ sigma_ \ nu + \ sigma_ \ nu \ sigma_ \ mu = 2 \ delta _ {\ mu, \ nu} [/ math]

Cuando PAM Dirac estaba formulando la ecuación de Dirac, necesitaba un conjunto de cuatro matrices que anticomutaran, de modo que cuando cuadras la ecuación de Dirac obtienes la ecuación de Klein-Gordon. Esto haría que la ecuación de Dirac sea tanto relativista como de primer orden en la derivada del tiempo de la función de onda, como la ecuación de Schrödinger. Las matrices Pauli anticommutan, pero solo hay tres de ellas. De hecho, se puede demostrar que no hay un conjunto de cuatro matrices [matemáticas] 2 \ por 2 [/ matemáticas] que se anticomuten mutuamente. Las matrices más pequeñas para las que es posible encontrar cuatro matrices con esta propiedad son las matrices [math] 4 \ times 4 [/ math]. Y esas matrices son las matrices Gamma.

Answer 2

Las matrices de Pauli son generadoras del grupo de Lie SU (2). Ahora, las transformaciones de Lorentz ortócronas adecuadas componen el grupo SO (3,1) que localmente (es decir, cerca de la identidad) parece 2 copias de SU (2). De hecho, la cobertura universal de SO (3,1) es

SL (2, C) / {+/- I} cuyo álgebra de Lie es la complejación de su (2). Por lo tanto, no debería sorprendernos demasiado que las matrices gamma, que son representaciones del álgebra de Clifford Cl3,1 (R), deberían contener matrices de Pauli.

También debo mencionar que el álgebra de Clifford (3,1) puede representarse por 2 x 2 matrices cuaterniónicas. Pero hay un isomorfismo natural entre los cuaterniones y las matrices de Pauli.

Answer 3

Pauli inventó las matrices de Pauli para intentar un modelo no relativista de espín, una extensión de la ecuación de Schrödinger. Por lo tanto, era natural que también surgieran del tratamiento relativista de Dirac del mismo problema.