Algunas matrices pueden ser interesantes para algunos y no tan interesantes para otros. En cualquier caso, daré ejemplos de matrices que pueden considerarse útiles o notables en matemáticas y / o física matemática.
La matriz unitaria es una matriz cuadrada cuya inversa es igual a su transposición conjugada. Cumple la condición [matemática] \ displaystyle U ^ H = U ^ {- 1} [/ matemática].
La matriz de identidad es una matriz constante dada por (imagen de la ecuación de Wikipedia):
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- [matemática] W = {(x_1, x_2, 0) ^ T: x1, x2 \ in \ mathbb {R}} [/ math] ¿Es W un subespacio? En caso afirmativo, proporcione una base y la dimensión de W? Dar interpretación geométrica de W.
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La matriz de identidad [math] n \ times n [/ math] tiene entradas iguales al delta de Kronecker:
[matemáticas] \ displaystyle (I) _ {ij} = \ delta_ {ij} [/ matemáticas]
Por ejemplo, la matriz de identidad 3 [matemáticas] \ veces 3 [/ matemáticas] se puede expresar como:
[matemáticas] \ displaystyle I_3 = \ left (\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {ccc} \ delta _ {11} & \ delta _ {12} & \ delta _ {13} \\\ delta _ {21} & \ delta _ {22} & \ delta _ {23 } \\\ delta _ {31} & \ delta _ {32} & \ delta _ {33} \\\ end {array} \ right) [/ math]
La matriz de Hankel o matriz catalecticant . A continuación se muestra un diagrama de la lista en 3D de la matriz Hankel [matemática] 20 \ veces 20 [/ matemática], hecha con Mathematica:
La matriz de Hilbert, una matriz cuadrada cuyas entradas son las fracciones unitarias:
[matemáticas] \ displaystyle H_ {\ text {ij}} = \ frac {1} {i + j – 1} [/ matemáticas]
La matriz de Hilbert es un caso especial de la matriz de Hankel. A continuación se muestra una gráfica de la lista en 3D de la matriz de Hilbert [matemáticas] 20 \ veces 20 [/ matemáticas], hecha con Mathematica:
La matriz de Hilbert [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemáticas] viene dada por:
[matemáticas] \ displaystyle \ left (\ begin {array} {cc} 1 & \ frac {1} {2} \\\ frac {1} {2} & \ frac {1} {3} \\\ end { matriz} \ right) [/ math]
A continuación se muestra una expresión de la potencia de la matriz [matemática] n ^ {th} [/ matemática] de la matriz de Hilbert [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] (calculada con Mathematica). Haga clic en la imagen a continuación para ampliarla:
A aquí también está la expresión de la matriz [math] 2 \ times 2 [/ math] Hilbert a la potencia [math] -n [/ math], calculada con Mathematica. Haga clic en la imagen a continuación para ampliarla:
La matriz jacobiana de una función vectorial f es una matriz [matemática] m \ veces n [/ matemática] definida como (imagen de la ecuación a continuación de Wikipedia):
La matriz y el determinante jacobiano tienen muchos usos y muchas propiedades interesantes.
Las matrices de transformación tienen muchas aplicaciones en campos como los gráficos por computadora y las ciencias físicas. Por ejemplo, la matriz de transformación necesaria para rotar un ángulo θ sobre el eje definido por el vector unitario ( l , m , n ) viene dada por (imagen de la ecuación de Wikipedia. Haga clic en la imagen a continuación para ampliarla):
Ahora para algunas matrices importantes en física matemática.
Las matrices de Pauli son matrices complejas unitarias hermitianas [matemáticas] 2 \ por 2 [/ matemáticas] dadas por (imagen de la ecuación de Wikipedia):
Una de sus propiedades es que son matrices involuntarias:
[matemáticas] \ displaystyle \ sigma _ 1 ^ 2 = \ sigma _ 2 ^ 2 = \ sigma _ 3 ^ 2 = -i \ sigma _ 1 \ sigma _2 \ sigma _ 3 [/ matemáticas]
[math] = \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {array} \ right) = I_2 [/ math]
Las matrices gamma o matrices de Dirac están dadas por (imágenes de la ecuación a continuación de Wikipedia):
Están directamente relacionados con la ecuación de Dirac en la mecánica cuántica relativista.
Una propiedad importante de las matrices Gamma es la relación de anticommutación:
[matemáticas] \ displaystyle \ left \ {\ gamma ^ {\ alpha}, \ gamma ^ {\ beta} \ right \} = \ gamma ^ {\ alpha} \ gamma ^ {\ beta} + \ gamma ^ {\ alpha } \ gamma ^ {\ beta} = 2 \ eta ^ {\ alpha \ beta} I_ 4 [/ math]
donde [math] \ eta ^ {\ alpha \ beta} [/ math] es la métrica de Minkowski (representada por una matriz [math] 4 \ times 4 [/ math]) con firma (+ – – -).
Las matrices Gamma se pueden expresar utilizando las matrices Pauli [matemáticas] 2 \ veces 2 [/ matemáticas]:
[matemáticas] \ displaystyle \ gamma ^ k = \ left (\ begin {array} {cc} 0 & \ sigma ^ k \\ – \ sigma ^ k & 0 \\\ end {array} \ right) [/ math]
donde k va de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] a [matemáticas] 3 [/ matemáticas].
Y también están las matrices de Gell-Mann, utilizadas en física matemática y en la teoría cuántica de campos. Estas matrices proporcionan una posible representación de los generadores infinitesimales del grupo unitario especial llamado [math] SU (3) [/ math]. Pueden estar representados por ocho matrices [math] 3 \ times 3 [/ math] denotadas [math] \ lambda_i [/ math] (donde [math] i [/ math] va de [math] 1 [/ math] a [ matemática] 8 [/ matemática]), no tienen huellas, son ermitas y satisfacen la relación:
[matemáticas] \ displaystyle tr (\ lambda_i \ lambda_j) = 2 \ delta_ {ij} [/ matemáticas]
Para obtener información adicional sobre matrices específicas, consulte la siguiente fuente:
Listado de matrices