Cómo encontrar la suma al infinito

Answer 1

Varios enfoques únicos han sido empleados por los otros autores. Déjame agregar uno más. Denotando la suma dada por [math] S [/ math],

[matemática] S = 5x ^ 3 – 7x ^ 4 + 11x ^ 5 – 17x ^ 6 + 25x ^ 7 – 35x ^ 8 + \ cdots [/ matemática]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]

Ahora, podría preguntarse, ¿por qué se tomó el siguiente término como [matemática] 25x ^ 7 [/ matemática], cuando los coeficientes numéricos parecen ser primos? Bueno, si lo notas con cuidado, [matemáticas] 13 [/ matemáticas] se omitió.

Por lo tanto, podemos estar seguros de que ellos (los coeficientes) no siguen el patrón primo. Pero entonces, ¿qué estamos viendo aquí?

Si observa nuevamente, los valores absolutos de los coeficientes siguen una progresión. ¿Qué tipo de progresión? Cada diferencia común entre dos términos sucesivos excede a su predecesor en [matemática] 2 [/ matemática], es decir, [matemática] 5 + 2 = 7 [/ matemática], [matemática] 7 + 4 [/ matemática] (que es [matemática] ] 2 + 2 [/ matemáticas]) [matemáticas] = 11 [/ matemáticas], [matemáticas] 11 + 6 [/ matemáticas] (que es [matemáticas] 4 + 2 [/ matemáticas]) [matemáticas] = 17 [/ matemáticas], y así sucesivamente.

Hagamos algunas manipulaciones para llegar a algo significativo.

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De [math] {\ color {red} 1} [/ math], tenemos:

[matemática] S = 5x ^ 3 – 7x ^ 4 + 11x ^ 5 – 17x ^ 6 + 25x ^ 7 – 35x ^ 8 + \ cdots [/ matemática]

Multiplicando [matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas] con [matemáticas] x [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] xS = 5x ^ 4 – 7x ^ 5 + 11x ^ 6 – 17x ^ 7 + 25x ^ 8 – 35x ^ 9 + \ cdots [/ matemáticas]

Sumando, llegamos a:

[matemáticas] (1 + x) S = 5x ^ 3 + \ big \ {- 2x ^ 4 + 4x ^ 5 – 6x ^ 6 + 8x ^ 7 – 10x ^ 8 + \ cdots \ big \} [/ math]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]]

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Ahora, si echamos un vistazo a lo que tenemos dentro de las llaves, podemos ver que la secuencia ha tomado una forma algo familiar, con los valores absolutos de los coeficientes que siguen una progresión aritmética, estrechamente unidos a una progresión geométrica con su común. relación como [matemáticas] -x [/ matemáticas].

Este es un ejemplo de lo que se conoce como una secuencia aritmético-geométrica. La suma de todos los términos de dicha secuencia se da como:

[matemáticas] S_n = \ dfrac {a – [a + (n – 1) d] r ^ n} {1 – r} + \ dfrac {dr (1 – r ^ {n – 1})} {(1 – r) ^ 2} [/ matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]

, donde [math] a [/ math] es el primer término de la parte AP, [math] d [/ math] es la diferencia común y [math] r [/ math] es la razón común (la derivación se puede encontrar aquí )

Ahora, intentemos reescribir [math] {\ color {red} 2} [/ math] un poco diferente:

[matemáticas] (1 + x) S = 5x ^ 3 + \ big \ {- 2x ^ 4 + 4x ^ 5 – 6x ^ 6 + 8x ^ 7 – 10x ^ 8 + \ cdots \ big \} [/ math]

[matemática] \ Rightarrow (1 + x) S = 5x ^ 3 – 2x ^ 4 \ cdot \ big \ {1 – 2x + 3x ^ 2 – 4x ^ 3 + 5x ^ 4 – \ cdots \ big \} [/ math ]

O [matemáticas] (1 + x) S = 5x ^ 3 – 2x ^ 4 \ cdot \ lambda [/ matemáticas]

, que denota la suma aritmético-geométrica [matemática] 1 – 2x + 3x ^ 2 – 4x ^ 3 + 5x ^ 4 – \ cdots [/ math] como [math] \ lambda [/ math].

[[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]

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Ahora, resolvemos para [math] \ lambda [/ math].

[matemáticas] \ lambda = 1 – 2x + 3x ^ 2 – 4x ^ 3 + 5x ^ 4 – \ cdots [/ matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas]]

Si observamos de cerca su valor, llegamos a la conclusión de que [matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] d = 1 [/ matemática] y [matemática] r = -x [/ matemática].

Combinando lo que tenemos en [matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas] y [matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas], obtenemos:

[matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1 – [1 + (n – 1) \ cdot 1] (-x) ^ n} {1 – (-x)} + \ dfrac {1 \ cdot (-x) ( 1 – (-x) ^ {n – 1})} {(1 – (-x)) ^ 2} [/ math]

O [matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1 – n \ cdot (-x) ^ n} {1 + x} – \ dfrac {x \ cdot (1 – (-x) ^ {n – 1})} { (1 + x) ^ 2} [/ matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 6} [/ matemáticas]]

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Ahora, el valor de [math] \ lambda [/ math] depende del valor de [math] n [/ math] (el número de términos en la secuencia), que tiende a [math] \ infty [/ math]. Por lo tanto, hay dos casos posibles que tenemos que tratar:

CASO 1 : [matemáticas] -1 <r <1 [/ matemáticas]

, que puede escribirse como [matemática] -1 <-x <1 [/ matemática] O [matemática] -1 <x <1 [/ matemática].

En tal caso, la suma de la serie AG infinita se da como:

[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} S_ {n} = \ dfrac {a} {1 – r} + \ dfrac {rd} {(1 – r) ^ 2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el valor de [math] \ lambda [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] se convierte en:

[matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1} {1 – (-x)} + \ dfrac {(- x) \ cdot 1} {(1 – (-x)) ^ 2} [/ matemáticas]

O [matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1} {1 + x} – \ dfrac {x} {(1 + x) ^ 2} [/ matemáticas]

O [matemáticas] \ lambda = \ dfrac {1} {(1 + x) ^ 2} [/ matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 7} [/ matemáticas]]

CASO 2 :

La suma diverge en el caso [math] r> = 1 [/ math], y se alterna en el caso [math] r <= -1 [/ math], por lo que no se establece realmente un valor fijo en ninguno de los casos. Por lo tanto, podemos ignorar con seguridad la discusión de estos dos casos secundarios a los fines de la solución.

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De [math] {\ color {red} 4} [/ math],

[matemáticas] (1 + x) S = 5x ^ 3 – 2x ^ 4 \ cdot \ lambda [/ matemáticas]

Sustituyendo el valor de [math] \ lambda [/ math] de [math] {\ color {red} 7} [/ math], obtenemos:

[matemáticas] (1 + x) S = 5x ^ 3 – 2x ^ 4 \ cdot \ dfrac {1} {(1 + x) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow (1 + x) S = \ dfrac {5x ^ 3 (1 + x) ^ 2 – 2x ^ 4} {(1 + x) ^ 2} [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow S = x ^ 3 \ cdot \ dfrac {5 (1 + x) ^ 2 – 2x} {(1 + x) ^ 3} [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow S = x ^ 3 \ cdot \ dfrac {5 + 5x ^ 2 + 10x – 2x} {(1 + x) ^ 3} [/ matemática]

[matemática] \ Rightarrow S = (\ dfrac {x} {1 + x}) ^ 3 \ cdot (5x ^ 2 + 8x + 5) [/ math]

QEF

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Espero que haya ayudado.

Answer 2

Primero, busquemos una fórmula simple para la secuencia 5, 7, 11, 17,…. Usaremos el método de diferencias finitas. La primera fila de diferencias produce 2, 4, 6 y la segunda fila de diferencias produce una secuencia constante 2, 2. Por lo tanto, nuestra fórmula será un polinomio de segundo grado [matemática] a_k = ak ^ 2 + bk + c [/ matemática ] Para facilitar el trabajo, hagamos que [math] a_3 = 5, a_4 = 7 [/ math], etc., de modo que nuestros índices coincidan con nuestros poderes de x. Tenemos tres coeficientes desconocidos para resolver, así que conectaremos 3 valores de nuestra secuencia para obtener [matemática] 5 = 9a + 3b + c, 7 = 16a + 4b + c, 11 = 25a + 5b + c [/ matemática ] Resolver esto es una tarea simple y obtenemos [matemática] a = 1, b = -5, c = 11 [/ matemática] y la fórmula [matemática] a_k = k ^ 2-5k + 11. [/ Matemática] Nuestra suma ahora se convierte en [matemáticas] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 3} (- 1) ^ {k + 1} (k ^ 2-5k + 11) x ^ k [/ matemáticas].

Vamos a utilizar algunas fórmulas de series geométricas, así que encontraremos [matemática] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- 1) ^ {k + 1} (k ^ 2-5k + 11) x ^ k [/ math] y resta los primeros 3 términos.

Distribuya y divida la suma en 3 unidades separadas: [matemáticas] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- 1) ^ {k + 1} (k ^ 2-5k + 11) x ^ k = \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- 1) ^ {k + 1} k ^ 2x ^ k + \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- 1) ^ k5kx ^ k + \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- 1) ^ {k + 1} 11x ^ k [/ math]

Nos referiremos a la primera suma como [1], la segunda como [2] y la tercera como [3].

Para [3], factorizamos -11 y reorganizamos para que [3] = [matemática] -11 \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} (- x) ^ k [/ matemática]. Esta es una serie geométrica bien conocida igual a [matemática] \ frac {1} {1 + x} [/ matemática] entonces [3] = [matemática] \ frac {-11} {1 + x} [/ matemática].

Para [2], factorizamos 5 y reorganizamos para que [2] = [matemáticas] 5 \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} k (-x) ^ k [/ matemáticas]. Se sabe que [matemáticas] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} kx ^ k = \ frac {x} {(1-x) ^ 2} [/ matemáticas] (aquí hay una prueba: la respuesta de Jake Januzelli a ¿Cómo demuestro que [matemáticas] \ sum ^ {\ infty} _ {n = 0} nx ^ n = x / (1 − x) ^ 2 [/ matemáticas] dado que | x | <1?). Sustituyendo, encontramos [2] = [matemáticas] \ frac {-5x} {(1 + x) ^ 2}. [/ Matemáticas]

Para [1] factorizamos un [math] -1 [/ math] y reorganizamos para que [1] = [math] – \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} k ^ 2 (-x) ^ k [/matemáticas]. Consulte la identidad [math] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} kx ^ k = \ frac {x} {(1-x) ^ 2} [/ math]. Tomando la derivada de ambos lados y multiplicando por x llegamos a [matemática] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 0} k ^ 2x ^ k = \ frac {x (1 + x)} {(1-x ) ^ 3} [/ matemáticas]. Sustituyendo, encontramos [1] = [matemática] \ frac {x (1-x)} {(1 + x) ^ 3} [/ matemática].

Sustituyendo todo y restando los primeros 3 términos encontramos [matemática] \ sum ^ {\ infty} _ {k = 3} (- 1) ^ {k + 1} (k ^ 2-5k + 11) x ^ k = \ frac {x (1-x)} {(1 + x) ^ 3} – \ frac {5x} {(1 + x) ^ 2} – \ frac {11} {1 + x} – (-11 + 7x – 5x ^ 2) [/ matemáticas]. Después de una gran cantidad de tedioso álgebra, llegamos a nuestra respuesta final de [matemáticas] \ frac {x ^ 3 (5x ^ 2 + 8x + 5)} {(1 + x) ^ 3} [/ matemáticas]. En una nota final, esta serie solo converge cuando [matemáticas] | x | <1 [/ math] porque las diversas series geométricas que hemos utilizado solo convergen cuando [math] | x | <1 [/ matemáticas].

(WolframAlpha echa un vistazo)

Answer 3

¿A qué te refieres? La suma de esta ecuación siempre continua es infinito. ¿Está posiblemente buscando el valor de x que sería igual al infinito con esta secuencia, porque declarar xa torta definida sería imposible de determinar. ¿Podrías reformular la pregunta para que sea más fácil de entender?

Answer 4

Asumir | x | <1 para que se pueda aplicar la suma límite. La serie se descompone en series infinitas y sus derivados de cálculo.

Primero deriva la ecuación parabólica y = ax ^ 2 + bx + c para que coincida con los coeficientes de la serie

a = 1, b = -1, c = 5.

El patrón viene dado por

Por diferenciación

Sustituya (2) y (3) en (1)

Answer 5

Lo comenzaré, se está haciendo tarde. Lo terminas

S (n) = 5x ^ 3 -7x ^ 4 + 11x ^ 5-17x ^ 6 + 25x ^ 7-35x ^ 8 ,,,,,,,,,,,,,,

xS (n) = 5x ^ 4- 7x ^ 5 + 11x ^ 6- 17x ^ 7 + …………, restar

(1 + x) S (n) = (5x ^ 3) -2 x ^ 4 + 4x ^ 5-6x ^ 6 + 8x ^ 7-10x ^ 8

(1-x) S (n) = (5x ^ 3) -2 [x ^ 4-2x ^ 5 + 3x ^ 6-4x ^ 7 etc.]

Ahora puede hacer lo mismo con la serie en [etc] × 2
Obtenga su suma particular (series alternas), divídalas.
Luego divide por (1-x) para obtener S (n)
x es probablemente menor que 1, y un GP probablemente convergerá por ti.

Cuéntanos cómo te fue