Como resolver un sistema de ecuaciones lineales

Answer 1

Como le ha dado al operador lineal A en forma matricial, de hecho está listo para comenzar tan pronto como especifique el vector b, puede encontrar el vector x (supongo que x es el unaniem y b se daría). Cuando deja que b no se especifique como vector (b1, b2, b3, b4), puede escribir una expresión para (x1, x2, x3, x4, x5) que implica el inverso de A. Dado que A es un 4 × 5 conocido matriz, esto generalmente no es posible.

Debajo de alguna información sobre cómo invertir una matriz no cuadrada:

Nandan Kumar Jha

Instituto Indio de Tecnología Bombay

¿Cómo se puede encontrar el inverso de una matriz no cuadrada?

Generalmente sabemos que el inverso existe solo para la matriz cuadrada. Sin embargo, eso no es verdad. Una matriz no singular debe tener su inverso, ya sea una matriz cuadrada o no cuadrada. Pero, ¿cómo se puede encontrar el inverso (inversor izquierdo y inverso derecho) de una matriz no cuadrada?

TEMAS

Matemática de Ingeniería

Matemáticas Aplicadas

29 de abril de 2014 · Modificado el 29 de abril de 2014 por el comentarista.

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RESPUESTAS POPULARES

Antti Rasila

Antti Rasila · Universidad de Aalto

En general, no. Si A es una matriz mxn no cuadrada, tiene dos casos: 1) Si mn, entonces el conjunto de imágenes de R ^ n en el mapeo x \ mapsto Ax es un subespacio adecuado de R ^ m, y si elige un punto desde el complemento ortogonal de este subespacio, no puede encontrar la imagen inversa. Para comprender mejor la idea, vea el teorema de nulidad de rango: Teorema de nulidad de rango Sin embargo, puede encontrar el llamado inverso pseudoinverso generalizado para cualquier matriz utilizando la descomposición de valor singular (svd). Descomposición del valor singular No es la matriz inversa real, sino la “mejor aproximación” de la misma en el sentido de mínimos cuadrados. Mínimos cuadrados. Sin embargo, si la matriz inversa real existe, el pseudoinverso coincide con ella. Por ejemplo, en MATLAB puede encontrar el pseudoinverso A usando el comando pinv (A).

29 de abril de 2014

Hakeem Niyas

Hakeem Niyas · Instituto Indio de Tecnología Guwahati

Espero que los siguientes enlaces wiki te sean útiles

Matriz invertible

Elemento inverso

Right Inverse.jpg

29 de abril de 2014

TODAS LAS RESPUESTAS (17)

Dan-El Neil Vila Rosado

Dan-El Neil Vila Rosado · Freie Universität Berlin

Recuerde las siguientes propiedades: si A es mxn y el rango de A es igual a n, entonces A tiene un inverso izquierdo: una matriz B de n por m tal que BA = I. Si A tiene rango m, entonces tiene un inversa derecha: una matriz B de n por m tal que AB = I.

Se dice que una matriz mxn es un rango de columna completo si sus columnas son independientes. Esto necesariamente implica m> = n.

Para encontrar un inverso izquierdo de una matriz con columnas independientes A, usamos la descomposición QR completa de A para escribir

A = Q \ left (\ begin {array} {c}

R_1 \\

0 0

\ end {array}

\derecho)

donde R_1 es nxn triangular superior e invertible, mientras que Q es mxm y ortogonal. Entonces,

B = \ left (\ begin {array} {cc}

R_1 ^ (- 1) y 0

\ end {array}

\derecho)

Se debe realizar un procedimiento similar para obtener el inverso correcto.

Por otro lado, una forma de calcular el pseudo inverso (pseudoinverso de Moore-Penrose) es mediante la descomposición de valores singulares, el método QR o el método iterativo de Ben-Israel y Cohen

29 de abril de 2014

Hakeem Niyas

Hakeem Niyas · Instituto Indio de Tecnología Guwahati

Espero que los siguientes enlaces wiki te sean útiles

Matriz invertible

Elemento inverso

Right Inverse.jpg

29 de abril de 2014

Joel Macauslan

Joel Macauslan · Servicios analíticos de STAR

Valor singular de descomposición. Si M = U * S * V ‘(U = unitario, S = diagonal cuadrada de Reals no negativos, V = unitario cuadrado y’ = notación para transposición), entonces:

Para T = una matriz diagonal determinada, V * T * U ‘es el inverso o seudoinverso, incluidos los casos izquierdo y derecho. Específicamente, los elementos diagonales de T son los inversos de los de S, excepto que un 0 en S se correlaciona con un 0 en T.

Tenga en cuenta que, convencionalmente, si M no es cuadrado, entonces es “alto” (#rows> #columns), y U tiene el mismo tamaño que M. (Si M es “ancho” en lugar de “alto”, vuelva a trabajar el análisis utilizando la transposición de M.)

29 de abril de 2014

Antti Rasila

Antti Rasila · Universidad de Aalto

En general, no. Si A es una matriz mxn no cuadrada, tiene dos casos: 1) Si mn, entonces el conjunto de imágenes de R ^ n en el mapeo x \ mapsto Ax es un subespacio adecuado de R ^ m, y si elige un punto desde el complemento ortogonal de este subespacio, no puede encontrar la imagen inversa. Para comprender mejor la idea, vea el teorema de nulidad de rango: Teorema de nulidad de rango Sin embargo, puede encontrar el llamado inverso pseudoinverso generalizado para cualquier matriz utilizando la descomposición de valor singular (svd). Descomposición del valor singular No es la matriz inversa real, sino la “mejor aproximación” de la misma en el sentido de mínimos cuadrados. Mínimos cuadrados. Sin embargo, si la matriz inversa real existe, el pseudoinverso coincide con ella. Por ejemplo, en MATLAB puede encontrar el pseudoinverso A usando el comando pinv (A).

29 de abril de 2014

Sio-Hoi Ieng

Sio-Hoi Ieng · Universidad Pierre y Marie Curie – París 6

Nandan, inverso de una matriz, está relacionado con las nociones de funciones biyectiva, inyectiva y sobreyectiva. Eso significa que solo puede invertir una matriz si es cuadrada (función biyectiva). Por lo tanto, una matriz no singular “debe” no tener una matriz inversa.

Puede definir izquierda (función inyectiva) / derecha (función surjectiva) inversa para una matriz no cuadrada solo si se satisfacen las propiedades de rango y aunque las inversas izquierda / derecha a menudo no son únicas.

Tal vez sea solo una cuestión semántica para usted, pero implica muchas propiedades matemáticas. Para que una matriz sea invertible tiene que ser cuadrada (propiedad no suficiente, por supuesto). De lo contrario, se refiere a su “pseudo inverso”. El “pseudo” no es solo una palabra sin sentido.

29 de abril de 2014

Abedallah M Rababah

Abedallah M Rababah · Universidad de Ciencia y Tecnología de Jordania

Apoyo la respuesta de @Antti Rasila, que es perfecta.

29 de abril de 2014

Pankaj K Mishra

Pankaj K Mishra · IIT Kharagpur

En general no puedes encontrarlo. Debido a las condiciones en el inverso.

Suponga que A ^ {- 1} es el inverso de una matriz nxm A. Entonces debemos tener eso

A \ cdot A ^ {- 1} = A ^ {- 1} \ cdot A = I

donde yo es la matriz de identidad.

Pero si A es nxm, entonces si podemos multiplicar por A ^ {- 1} tanto a la izquierda como a la derecha, A ^ {- 1} debe ser mx n. Pero entonces

A \ cdot A ^ {- 1} = I_n y

A ^ {- 1} \ cdot A = I_m.

Pero estos deben ser iguales y, por lo tanto, n = my A es cuadrado.

29 de abril de 2014

Michael L Johnson

Michael L Johnson · Universidad de Virginia

Si el propósito de invertir la matriz no cuadrada A es resolver un sistema de ecuaciones lineales como Ax = B, entonces puede multiplicar ambos lados de la ecuación de la matriz por la transposición de A para que se convierta en (Transponer (A) A) X = Transponer (A) B. Ahora puede invertir la Transposición (A) A y así resolver el sistema de ecuaciones.

29 de abril de 2014

Rohan J. Dalpatadu

Rohan J. Dalpatadu · Universidad de Nevada, Las Vegas

La mejor inversa para la matriz A no cuadrada o cuadrada pero singular sería la inversa de Moore-Penrose. También es un inverso de mínimos cuadrados, así como cualquier inverso generalizado ordinario. Se convierte en el inverso regular para una matriz no singular. Se puede calcular de la siguiente manera:

Encuentre la descomposición del valor singular de la matriz mxn como: A = P1ΔQ1T, donde el rango de A es r, P1 es una matriz semiortogonal mxr, Δ es una matriz diagonal rxr con elementos diagonales positivos llamados valores singulares de A, y Q1 es una matriz semiortogonal nxr. El inverso de Moore-Penrose de A, denotado por A + es la matriz nxm única definida por: A = Q1Δ1P1T, donde Δ1 es el inverso de Δ. Es la matriz nxm única que satisface las cuatro condiciones: (1) AA + A = A, (2) A + AA + = A +, (3) (AA +) T = AA +, (4) (A + A) T = A + A.

29 de abril de 2014

Rohan J. Dalpatadu

Rohan J. Dalpatadu · Universidad de Nevada, Las Vegas

En la nota anterior, Q1T es la transposición de Q1 y P1T es la transposición P1.

Moore-Penrose Inverse.docx

29 de abril de 2014

Nandan Kumar Jha

Nandan Kumar Jha · Instituto Indio de Tecnología Bombay

Gracias a todos por la iluminación … tengo el concepto detrás de la pseudo-inversa de una matriz no cuadrada

30 de abril de 2014

Riadh Fezzani

Riadh Fezzani · Impresión OCÉ (una compañía de cañones)

Desde un punto de vista práctico, la factorización QR es la forma más eficiente de “invertir” sistemas lineales sobredeterminados (es decir, matrices con varias líneas más grandes que el número de columnas).

De hecho, como se escribió anteriormente, para una matriz A de tamaño m × n con m> n, resolver el problema

Ax = b (1)

Es un problema de mínimos cuadrados.

La matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz ortogonal Q (m × n) y una matriz triangular superior R (n × n), por lo tanto, resolver (1) es equivalente a resolver

Rx = Q ^ T b

Para más detalles, consulte el libro de Golub et al. “Cálculo matricial”.

14 de mayo de 2014

Zeyad Al-zhour

Zeyad Al-zhour · Universidad de Dammam

Para encontrar el inverso de la matriz no cuadrada mediante el uso de inversos generalizados: el inverso de Moore-Penrose y tiene muchas representaciones de este inverso (representación SVD, representación integral ,,… .etc) y también se puede calcular fácilmente, lo que depende de la rango de la matriz dada. Si está interesado, vaya y busque mi nombre: zeyad al-zhour en Google y luego encontrará algunos de mis trabajos publicados sobre este tema.

12 de sep. De 2014

Robert Loughnane

Robert Loughnane · Universidad Nacional Autónoma de México

Presentaría la situación de la siguiente manera, como se aplicaría al caso de explorar los coeficientes de convolución en el caso de los filtros Savitzky-Golay:

Tiene los puntos de muestra 2M + 1 en un espectro (gaussiano) dado ensamblado en forma de un vector columna (2M + 1) * 1, es decir, \ hat {x} = (x _ {- M}, x _ {- M +1}, …, x_0, x_ {M-1}, x_M}) ^ T.

Los coeficientes de una expansión polinómica de estos puntos de datos 2M + 1 se encuentran en un vector de columna de dimensión N + 1 (donde N es el orden del ajuste polinómico) de acuerdo con: \ hat {a} = (a_0, a_1, …, a_N) ^ T. En general, N $ \ le $ 2M y, por lo tanto, la matriz que se multiplica previamente \ hat {x} para obtener \ hat {a} no es cuadrada. La relación entre \ hat {x} y \ hat {a} viene dada por \ hat {x} = A \ hat {a}, donde A es una matriz no cuadrada que contiene potencias enteras en todas las posiciones.

Para obtener \ hat {a}, primero debe multiplicar cada lado de la ecuación anterior por A ^ T, la transposición de A dando A ^ T * \ hat {x} = A ^ T * A * \ hat {a}, la matriz del producto A ^ T * A es en sí misma cuadrada ya que implica la multiplicación de una matriz no cuadrada por su transposición: (n * m) * (m * n) = (n * n) donde en la primera matriz n es el número de filas ym es el número de columnas y viceversa para el segundo.

Por lo tanto, \ hat {a} = (A ^ T * A) ^ {- 1} A ^ T * \ hat {x}, ya que el inverso de una matriz cuadrada es más sencillo de calcular. Pensé que el ejemplo particular junto con las sutilezas matemáticas hace que la explicación sea más rígida para que la mente la asimile.

26 de octubre de 2014

Apdullah Yayık

Apdullah Yayık · Universidad Mustafa Kemal

La factorización de colescia puede usarse para matrices no cuadradas.

Mar 9, 2015

Vitus Hawkridge

Vitus Hawkridge · Universidad de Oxford

¿Alguien sabe cómo resolver xA = b? la multiplicación de publicaciones por pinv (A) no funciona …

7 de noviembre de 2015

Rohan J. Dalpatadu

Rohan J. Dalpatadu · Universidad de Nevada, Las Vegas

Answer 2

Observe cómo tenemos 5 columnas en la matriz A, con la ecuación Ax = b podemos ver que tenemos 5 variables:
X, y, z, t, k. (Puede nombrar cualquier cosa)

Ahora sabemos que b es una matriz de 4 × 1 y A es un 4 × 5. Entonces, para obtener 4 × 1 por multiplicación de las dos matrices, x tiene que ser una matriz de 5 × 1, que son las variables.

Feliz resolviendo 🙂

Sugerencia para resolver:
encuentre 4 variables en los términos de la quinta (usted elige, aunque x o k parecen ser las más fáciles de solucionar)

Luego, sustituye todo en una ecuación y encuentra la variable que elegiste (por ejemplo, elegiste x, obtienes una sola ecuación larga con solo xy una constante en ella)

Luego sustituyes la variable en el resto de ecuaciones para obtener los valores.

Para verificar sus respuestas, puede sustituirlas en todas las ecuaciones y obtendrá el mismo valor, si no es que algo está mal.

Answer 3

Si estamos tratando de resolver el sistema lineal

[math] \ mathbb A \ mathbf x = \ mathbf b [/ math]

un algoritmo es reducir la matriz con el lado derecho contiguo

[matemáticas] \ begin {pmatrix} \ mathbb A & \ Big | & \ mathbf b \ end {pmatrix} [/ math]

No hay ninguna razón por la que no puedas tener muchos vectores en el lado derecho

[matemáticas] \ begin {pmatrix} \ mathbb A & \ Big | & \ mathbf b_1 & \ mathbf b_2 & \ cdots & \ mathbf b_n \ end {pmatrix} [/ math]

Por lo tanto, podría resolver todos sus problemas simultáneamente reduciendo la siguiente matriz.

[matemáticas] \ left (\ begin {array} {ccccc | ccc} -2 y 1 y -1 y 1 y 1 y 0 y 1 y -1 \\ 1 y -1 y 1 y 1 y -2 y 0 y 2 y 2 \\ 3 y 0 y 0 y 0 y -1 y 0 y 3 y -3 \\ 1 y 2 y 5 y 0 y 0 y 0 y 4 y 4 \ end {array} \ right) [/ math]

He adjuntado un enlace a la página de wikipedia sobre reducción de filas, también llamada eliminación gaussiana.

Answer 4

Hay cuatro ecuaciones y 5 incógnitas, por lo que la solución no será única. Es habitual escribir cuatro de las soluciones en términos de una variable para representar la restante.

Para resolver los diferentes valores de a, b, c y d, colóquelos en columnas a la derecha de la matriz original y realice las mismas operaciones de fila en ellas que en el resto de las columnas. Su objetivo es convertir las primeras 5 columnas en una matriz triangular, tal como lo haría para resolver con un solo vector del lado derecho.
Editar: si alguna fila de la forma triangular consiste en ceros, entonces los lados derechos correspondientes también deben reducirse a cero, o las ecuaciones son inconsistentes. Además, esto introducirá elementos más arbitrarios a la solución.

Si elige usar un inverso generalizado, entonces la solución, si hay una, depende del inverso que elija. Supongamos que G sea cualquier inverso generalizado de A, es decir, cualquier matriz, G, de modo que AGA = A (puede usar el inverso de Moore-Penrose o cualquier otro), entonces la solución más general de Ax = c es Gc + (I – GA) z donde z es arbitrario siempre que las ecuaciones sean consistentes. La solución debe ser verificada.