Cómo encontrar coordenadas de polinomios con respecto a las bases [matemáticas] B_ {1} [/ matemáticas] y [matemáticas] B_ {2} [/ matemáticas]

Puede configurarlo para resolver tres ecuaciones lineales.

Veamos cómo encontrar las coordenadas de p2 (x) con respecto a B2. Lo que esto significa literalmente es que existen tres números reales a, b, c tales que

[matemáticas] p_2 (x) = a \ cdot \ frac {x (x-1)} {2} + b \ cdot (1-x ^ 2) + c \ cdot \ frac {x (x + 1)} { 2} [/ matemáticas]

Su trabajo es simplemente encontrar a, by c. Lo haces multiplicando todo:

[matemáticas] x-3 = \ frac {a} {2} x ^ 2 – \ frac {a} {2} x + b – bx ^ 2 + \ frac {c} {2} x ^ 2 + \ frac { c} {2} x [/ matemáticas]

Esto debe ser una identidad, es decir, cada potencia de x debe tener el mismo coeficiente. Esto lleva a las siguientes tres ecuaciones lineales:

[matemáticas] x ^ 0 \ quad: \ quad -3 = b [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 1 \ quad: \ quad 1 = – \ frac {a} {2} – \ frac {c} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 2 \ quad: \ quad 0 = \ frac {a} {2} – b + \ frac {c} {2} [/ matemáticas]

Debería ser una cuestión simple determinar a, byc de estas tres ecuaciones. Y esas serán las coordenadas de p2 (x) en términos de B2.

Las coordenadas de cada [matemática] p_i [/ ​​matemática] en [matemática] B_1 [/ matemática] es la proyección de [matemática] p_i [/ ​​matemática] en cada componente de [matemática] B_1 [/ matemática].

seno puede escribir [matemáticas] p_1 (x) [/ matemáticas] como un producto escalar (es decir, una proyección ortogonal):

[matemáticas] p_1 (x) = 4 + 0.x + 0.x ^ 2 = \ begin {bmatrix} 1 & x & x ^ 2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} = B_1 ^ T \ begin {bmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math]

por lo tanto, [math] p_1 [/ math] en [math] B_1 [/ math] es [math] \ begin {bmatrix} 4 & 0 & 0 \ end {bmatrix} ^ T [/ math].

Puede usar el mismo razonamiento para p2 y p3 en [math] B_1 [/ math].

[matemática] B_1 [/ matemática] es la base canónica del conjunto de polinomios de grado [matemático] \ le 2 [/ matemático], por lo tanto, sus coordenadas [matemática] p_i [/ ​​matemática] en [matemática] B_1 [/ matemática] ser leído directamente de [math] p_i (x) [/ math]. Para obtener las coordenadas de [matemática] p_i [/ ​​matemática] en [matemática] B_2, [/ matemática] establezca la matriz de cambio de base (una matriz 3 × 3) de [matemática] B_2 [/ matemática] a [matemática] B_1 [/ math] así que es bueno ir a tener coordenadas p_i en [math] B_2 [/ math].

NB: No verifiqué si [math] B_2 [/ math] es la base de V, pero supongo que está de acuerdo con su segundo enlace.