La pregunta: “Matemáticas: ¿se encuentran matrices en la naturaleza o son una idea hecha por el hombre?”
Una respuesta simple es que la teoría de matrices es una construcción matemática internamente consistente, el producto de la creatividad humana, que es una ‘codificación’ de transformaciones lineales y, por lo tanto, tiene aplicación en una amplia gama de situaciones del mundo real que están representadas, al menos aproximadamente por lineal transformaciones
Es decir, las matrices son objetos matemáticos y, como tales, no se encuentran en la naturaleza concreta. Sin embargo, modelan grandes porciones de la naturaleza. El modelado no siempre es directo, pero puede ocurrir al transformar una representación aparentemente diferente (por ejemplo, ecuaciones diferenciales lineales) en forma de matriz. Por lo tanto, la ecuación de Schrodinger a partir de la mecánica cuántica no relativista se puede convertir en forma de matriz (y es equivalente a la formulación de matriz de Heisenberg).
Consulte el artículo de Wikipedia, Matriz (matemáticas), para ver ejemplos de la aplicación de matrices.
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Una interpretación un poco más profunda del tema, leída bajo el riesgo del riesgo de su valioso tiempo, resulta de preguntar cuidadosamente si se encuentran objetos matemáticos en el mundo y de qué manera. La visión actual de las matemáticas es que no es una ciencia empírica. Más bien, los sistemas matemáticos son formulaciones simbólicas axiomáticas y abstractas. Una ventaja de la formulación axiomática es su transparencia (por ejemplo, la eliminación de los “supuestos” implícitos en una formulación intuitiva o pictórica) y que se presta bien para verificar la consistencia y la integridad. La consistencia es lo importante para que un sistema inconsistente sea inútil: cuando, en la lógica clásica, una declaración y su negación son verdaderas, cada declaración es verdadera (y, de manera equivalente, cada declaración es falsa). La integridad es agradable pero no siempre es posible o deseable.
Entonces, una visión bastante común es que los objetos matemáticos son objetos abstractos (a los que se refieren las formulaciones axiomáticas abstractas). Pero si son objetos, ¿dónde están? La opinión común hoy es que no están en nuestro mundo concreto. Más allá de ese acuerdo se rompe. Algunas personas piensan que son objetos “conceptuales”. Pero eso es trivial, ya que un concepto puede referirse a algo y la verdadera pregunta es ¿A qué se refieren los conceptos matemáticos? Todo es isomorfo en sí mismo, pero eso sería trivial. Queremos algo mas. Una opinión minoritaria es que no se refieren, son solo “objetos mentales”, pero eso es muy vago porque no dice mucho … ni siquiera dónde están, ciertamente no están en el cerebro). La visión moderna más común parece ser que los objetos abstractos no se encuentran en el mundo concreto, carecen de existencia espacio-temporal, y dejan la cuestión de “dónde” están abiertos, un tema para una mayor reflexión. Hay algo llamado realismo platónico, una idea que se remonta al menos al filósofo griego Platón. Platón sostuvo que los objetos “inferiores” de este mundo semi ordenado y semi desordenado son copias de objetos perfectos, ideas o formas, que existen en un mundo ideal o platónico. La visión platónica de los objetos matemáticos es que son objetos reales que son habitantes de un mundo platónico. Varios matemáticos y lógicos modernos, entre los que se preocupan por tales problemas, sostienen esta opinión. Sin embargo, la vista tiene al menos dos problemas. El problema menor es que introduce una complicación: si hay dos mundos, ¿no podría haber otro … y otro …? Roger Penrose sostiene o sostiene que hay tres mundos: el físico, el mental y el ideal. El mayor problema con el platonismo es que elimina el problema de la naturaleza del objeto abstracto, en lugar de dar una explicación, el problema se explica. Pero la idea no muere porque el platonismo apela a la intuición de muchos matemáticos y lógicos: su intuición de la necesidad y la forma matemática es tan fuerte y la matemática tan abstracta es tan cierta (en comparación con la empírica que incluye las ciencias concretas) que “tiene ser real”.
Tengo una visión algo diferente. Es que los objetos abstractos (1) son abstracción del real concreto de tal manera que el ‘desorden’ queda atrás y es la forma que se traslada al objeto abstracto: la espacialidad y / o temporalidad pueden estar ausentes de lo que sobrevive al abstracto (2) son, por lo tanto, susceptibles de estudio conceptual más que empírico. Por lo tanto, los objetos abstractos están en el mundo único, pero no necesitan referirse a objetos concretos individuales, sino a ciertos aspectos o propiedades de múltiples objetos concretos. Ahora, hay un problema con este punto de vista. Dado que los conceptos abstractos se refieren a aspectos de objetos concretos, potencialmente tienen otros objetos que no están en el mundo, por lo que el objeto abstracto es en cierto sentido parcial. Es asimétrico al concreto que siempre hay en este mundo. Podríamos lograr la simetría de dos maneras. Primero, al permitir que el concreto también tenga objetos potenciales. El segundo sería admitir los posibles objetos abstractos como reales. Ambos enfoques tienen deficiencias en el sentido de que dan realidad a, al menos aparentemente, inexistente.
Prefiero el segundo por la siguiente razón. Pregunte ¿Cuál es el mayor mundo posible de objetos ? Debe ser algo como esto: un objeto es real si y solo si su concepto es lógico (esto requeriría consistencia interna así como también consistencia externa o relacional). En ese caso, todos los objetos, concretos y abstractos, estarían en el mundo (es decir, en el caso de que el mundo sea el mundo más grande posible). Pero nuestro mundo, el único mundo o universo de todos los seres, no parece ser el mejor mundo posible. Frente a esta apariencia, ver una prueba de lo contrario, junto con dudas, en la forma de ser.