¿Cuál es el rango de una matriz en términos simples?

Answer 1

-A2A-

¿Alguna vez ha encontrado un sistema de ecuaciones que tenga más número de variables (o incógnitas) que el número de ecuaciones para resolver? Eso pasa mucho !!

Considere el siguiente sistema lineal homogéneo de ecuaciones.

[matemáticas] x – 2y + 3z + 9w \ = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] -x + 3y – 4w \ = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x -5y + 5z + 17w \ = 0 [/ matemáticas]

Espero que estés familiarizado con el método de matriz para resolver el sistema de ecuaciones lineales.

Consideramos la Matriz de coeficientes [matemática] A \ = \ begin {bmatrix} 1 y -2 y 3 y 9 \\ -1 y 3 y 0 y -4 \\ 2 y -5 y 5 y 17 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

[matemáticas] X = \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ \ end {bmatrix} [/ math] y [math] O \ = \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

tal que [matemáticas] AX \ = O [/ matemáticas]

o [matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y -2 y 3 y 9 \\ -1 y 3 y 0 y -4 \\ 2 y -5 y 5 y 17 \\ \ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ \ end {bmatrix} \ = \ \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Ahora, aquí viene la parte más importante en la que reducimos la matriz a la forma escalonada reducida por fila mediante el uso de operaciones de fila elementales para encontrar las soluciones al sistema de ecuaciones anterior. Espero que esté familiarizado con la forma escalonada reducida de una matriz.

Me estoy saltando la parte para mostrar el proceso. Entonces, obtenemos la siguiente forma escalonada reducida para la matriz A:

[matemática] R = [/ matemática] [matemática] \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

De lo anterior,

[matemáticas] AX \ = O [/ matemáticas]

o equivalentemente, [matemáticas] RX \ = O [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \ end {bmatrix} * \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ \ end {bmatrix} \ = \ \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

La solución se puede leer como:

[matemáticas] x + w \ = 0 \ Flecha derecha \ x = -w [/ matemáticas]

[matemáticas] y – w \ = 0 \ Flecha derecha \ y = w [/ matemáticas]

[matemáticas] z + 2w \ = 0 \ Flecha derecha \ z = -2w [/ matemáticas]

‘w’ se convierte en un parámetro o variable libre, mientras que x, y y z se denominan variables pivote.

El rango de una matriz es básicamente el recuento de variables dinámicas, mientras que la nulidad de una matriz es el recuento de variables libres (o parámetros) .

Además, es importante tener en cuenta que el número de columnas en una matriz es igual a la suma de rango y nulidad de la matriz.

Por lo tanto, la solución se puede escribir como: [matemáticas] \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \\ \ end {bmatrix} \ = w \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \\ – 2 \\ 1 \\ \ end {bmatrix} [/ math]

Y así, el rango de la matriz A dada es 3 ya que solo hay 1 variable libre (w).

¡Espero que eso ayude!

Answer 2

Una matriz [math] m \ times n [/ math] es una transformación lineal de vectores en [math] R ^ n [/ math] a vectores en [math] R ^ m [/ math].

Es decir, piense en el espacio [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] (como una generalización del espacio [matemáticas] R ^ 3 [/ matemáticas] en el que vivimos). Cada punto en este espacio se puede representar como un vector n-dimensional (donde cada dimensión es una de sus coordenadas). La línea que une el origen a este punto es un vector correspondiente a este punto. Del mismo modo, imagine un espacio [matemática] R ^ m [/ matemática]. Ahora, dada una matriz A de tamaño [matemática] m \ veces n [/ matemática], para cualquier vector en [matemática] R ^ n [/ matemática], puede multiplicarla por la matriz para obtener un vector en [matemática] R ^ m [/ matemáticas].

Ahora es posible que las imágenes de todos los vectores en [matemáticas] R ^ n [/ matemáticas] no “llenen” todo el espacio [matemáticas] R ^ m [/ matemáticas]. La dimensión del espacio “lleno” por las imágenes es el rango de la matriz.

Una vez que tenga en mente esta intuición, son obvias muchas propiedades del rango de una matriz:

1. [matemáticas] rango (A) \ leq m [/ matemáticas], [matemáticas] rango (A) \ leq n [/ matemáticas]: Claramente, la dimensión del espacio lleno no puede ser mayor que m. Para la segunda desigualdad, usamos linealidad: si proyecta una línea linealmente, ¡no puede obtener una curva 2D! Generalice esto a dimensiones superiores.
2. rango (AB) = rango (B): Consulte esta respuesta: La respuesta de Prasoon Goyal a ¿Qué tiene que ver el hecho de que una de las matrices puede invertirse tiene que ver con la prueba de este problema de álgebra lineal?

Y hay pocos más.

Answer 3

Un rango de la matriz se utiliza para representar la capacidad de solución del sistema. Rango de una matriz (Representación matricial del sistema lineal) es el término para conocer el éxito del sistema.

Por ejemplo :

Tengamos un sistema lineal de 3 ecuaciones:

a1X + a2Y + a3Z = a

b1X + b2Y + b3Z = b

c1X + c2Y + c3Z = c

En este sistema, x, y y z son los productos y el sufijo a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 son el número de productos (recuento de x, y o z). Así que supongamos para la primera ronda que el beneficio de vender (a1 de X) + (a2 de Y) + (a3 de Z) es “a” rupias. Para la segunda ronda, el beneficio es de rupias “b” y para la tercera es de rupias “c”. (Suponga que estos datos se recopilan de experimentos aleatorios).

Por lo tanto, debe analizar la venta de las tres rondas. Para hacerlo, construirá la Matriz con el sufijo de X, Y y Z (Matriz Coeficiente) e intentará analizar.

Para saber cuál de las rondas o rondas son legales o escribir Lógicamente (en el sentido del beneficio o beneficio), intentamos convertir la Matriz de coeficientes y la Matriz aumentada en la forma escalonada de fila [A | B] (donde A es la matriz de coeficientes y B es la matriz de columna de la ganancia. [A | B] entero es la matriz aumentada.) (La forma escalonada de fila convertirá la matriz – significa los coeficientes del sistema pero el resultado final será el mismo después de operaciones escalonadas; por ejemplo, la fila escalonada no cambiará el determinante de la matriz).

Entonces, después de convertir con éxito la matriz aumentada en la forma escalonada de fila, suponga que encontrará que la última fila de A tiene todo el cero y que la “c” todavía no es cero.

pX + qY + rZ = a-3

0X + sY + tZ = b + 2

0X + 0Y + 0z = c # (p, q, r, s, t son algunas otras constantes);

Entonces, eso significa que (cero de X) + (cero de Y) + (cero de Z) le dará la ganancia de rupias “c” que no es cero, lo cual tiene menos sentido en el mundo real. Significa que no está vendiendo nada y aún así obtiene ganancias.

Entonces, si observa y cuenta cuidadosamente las filas de coeficiente Matriz A que no son cero, encontrará que 2 filas no son cero y la última fila es Cero (en A de [A | B] después de las operaciones de escalón de fila). Con esto puede decir que el rango de la Matriz A es 2 (en el supuesto caso anterior).

Entonces, con esto, puede decir que el sistema tiene un Rango de 2, lo que significa que 2 de las rondas fueron realmente rentables y la 3ª ronda no tiene sentido en ese sistema.

Espero que estés entendiendo mi punto. En realidad tenía la misma pregunta cuando me estaba preparando para el examen GATE y mi maestra me explicó esto de la manera mencionada anteriormente. Este ejemplo fue muy intuitivo para digerir este tema fácilmente. Al recordar este ejemplo cada vez que encuentre la pregunta de rango, podrá comprender la pregunta desde la raíz y no cometerá ningún error lógico.

Si encuentra útil este ejemplo, vote y compártelo.

La mejor de las suertes.

Answer 4

El rango de una matriz es el tamaño de la submatriz cuadrada más grande que tiene una inversa , o cero si ninguna de sus submatrices cuadradas tiene una inversa. (Esto generalmente se conoce como el rango determinante ).

Ejemplos:

1. [matemáticas] \ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene rango cero, porque ninguno de sus Las submatrices cuadradas tienen un inverso. (De hecho, una matriz tiene rango cero si y solo si sus entradas son todas iguales a cero).
2. [math] \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & -2 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene rango uno, porque claramente hay al menos una submatriz [matemática] 1 \ por 1 [/ matemática] que es invertible (por ejemplo, la submatriz [matemática] \ begin {pmatrix} 1 \ end {pmatrix} [/ math]) pero no [ math] 2 \ times 2 [/ math] submatrix tiene una inversa (por lo que tampoco todas las submatrices [math] 3 \ times 3 [/ math]).
3. [math] \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] tiene rango dos, porque hay al menos una submatriz [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] que es invertible (por ejemplo, la submatriz [matemática] \ begin {pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \ end {pmatrix} [/ math] ) pero ninguna submatriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] tiene un inverso.
4. [math] \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math] tiene rango tres, porque hay al menos una submatriz [matemática] 3 \ veces 3 [/ matemática] que es invertible (por ejemplo, la submatriz [matemática] \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]). Matrices como esta cuyo rango es el máximo posible se dice que tienen rango completo .