Su notación es un poco pesada, con todas esas flechas y cosas, así que usemos mayúsculas para matrices y minúsculas para un vector.
Tenemos Ax = b como la ecuación de interés.
Deseamos resolver para x.
Usemos ^ para denotar un inverso, entonces A ^ significaría el inverso de A.
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Ahora, si A ^ existiera, podríamos escribir A ^ Ax = A ^ b y cancelar A ^ A en el LHS para obtener x = A ^ b.
El problema es que A ^ no existe, es una matriz de 4 × 2, y los inversos solo se definen para matrices cuadradas con un determinante distinto de cero.
En cambio, podemos usar un “Pseudo-inverso inverso de Penrose-Moore” que es (A’A) ^ A ‘
No te preocupes de dónde viene esto O el nombre aterrador. ¡Solo tenga en cuenta que si multiplicamos previamente A por esto, obtenemos la identidad!
(A’A) ^ A’A = (A’A) ^ (A’A) = B ^ B = I donde B = A’A
Entonces, (A’A) ^ A’Ax = (A’A) ^ A’b o
x = (A’A) ^ A’b = Pb donde P = (A’A) ^ A ‘
Entonces x es simplemente Pb donde P es un operador lineal.
¿Cuál es la naturaleza de P? Bueno, es cuadrado, por lo que el siguiente paso obvio es encontrar valores propios que revelen la “forma más simple” de P.
Creo que el resto es bastante fácil ahora.