Cómo calcular los valores propios de una matriz

Leí esa parte en tus apuntes. Rechaza mencionar si [matemáticas] x [/ matemáticas], [matemáticas] y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas] son ​​reales positivos o negativos. Además, las notas dicen que

Esta matriz tiene todos los valores propios negativos si ρ <2. De lo contrario, tiene al menos un valor propio con parte real positiva, en cuyo caso el origen es un equilibrio inestable.

Ahora, no estoy muy arriba en física, por lo que me concentraré solo en la parte matemática. De las notas, parece que [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] pueden ser positivas mientras que [matemática] z [/ matemática] puede ser negativa.

Deje que [matemáticas] A = \ begin {bmatrix} -x && x && 0 \\ y && -1 && 0 \\ 0 && 0 && z \ end {bmatrix} [/ math]. Deje que [math] B = \ begin {bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \ end {bmatrix} [/ math] sea un vector propio de [math] A [/ math] con el valor propio correspondiente [math] \ lambda [/ matemáticas]. Entonces, están relacionados por la ecuación:

[matemáticas] AB = \ lambda B \ implica (A – \ lambda I) B = 0 [/ matemáticas]

Este es un sistema de lineal homogéneo en incógnitas [matemáticas] b_1 [/ matemáticas], [matemáticas] b_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b_3 [/ matemáticas]. Existen soluciones no triviales si [math] \ text {det} (A – \ lambda I) = 0 [/ math]. Esto significa que:

[matemáticas] (z – \ lambda) \ {(x + \ lambda) (1 + \ lambda) – xy (z – \ lambda) \} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (z – \ lambda) \ {\ lambda ^ 2 + (x + 1) \ lambda + x – xy \} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ lambda = z [/ math] o [math] \ lambda = \ displaystyle \ frac {- (x + 1) \ pm \ sqrt {(x + 1) ^ 2 – 4x + 4xy} } {2} [/ matemáticas]

Desde el primer factor, [math] \ lambda [/ math] es negativo, ya que supongo que [math] z [/ math] lo es. Del segundo factor, si [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] son ​​positivas, entonces del signo en los pares reales de raíces obtenidas del factor cuadrático depende del signo de [matemáticas] 4xy – 4x [/ matemáticas]. Aparentemente, las raíces reales son negativas si [math] y <1 [/ math]. Si conoce la física aquí, tal vez pueda correlacionar todo esto con el análisis.

resuelva lemda para la ecuación det (A- lemdaI) = 0 y toda la solución para las ecuaciones son valores propios de la matriz A.