¿Cómo obtenemos la noción de dirección de un vector a partir de la estructura del espacio vectorial en álgebra abstracta?

Answer 1

La noción de dirección no se sigue directamente de la estructura del espacio vectorial solo. Para eso, necesita un espacio interno del producto, que es un espacio vectorial V sobre un campo F (tome el campo como los números reales o los números complejos) en el que un producto interno [matemático] : V \ veces se define V \ rightarrow F [/ math], donde el producto interno satisface:

1. [matemática] \ geq0 [/ matemática] para todos [matemática] x \ en V [/ matemática] y [matemática] = 0 [/ matemática] si y solo si [matemática] x = 0 [/ matemáticas]
2. = a para todos [matemática] x, y \ en V, [/ matemática] [matemática] a \ en F [/ matemática]
3. [matemática] = \ overline {} [/ matemática] para espacios vectoriales complejos o [matemática] = [/ matemática] para espacios vectoriales reales para todo [matemáticas] x, y \ en V. [/ matemáticas]

Por ejemplo, el producto punto en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es un producto interno. No todos los espacios vectoriales tienen un producto interno. Si existe un producto interno, puede definir dos vectores para que sean ortogonales siempre que [math] = 0. [/ math] El producto interno también admite una norma natural: [math] \ | x \ | = \ sqrt {} [/ math], que le permite medir la longitud de los vectores. Esto le permite definir el ángulo entre dos vectores:

angle [math] (x, y) = \ arccos \ frac {| |} {\ | x \ | \ | y \ |}, [/ math] una definición motivada por el producto dot familiar fórmula en [math] \ mathbb {R} ^ n: [/ math] [math] x \ cdot y = \ | x \ | \ | y \ | cos (\ theta). [/ math]

Así es como surge la noción de dirección en los espacios interiores del producto. Otras características como el teorema de Pitágoras se deducen de eso.

Answer 2

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] para algunos [math] n, [/ math] para que pueda usar la noción normal de dirección en [math] \ mathbb {R } ^ n. [/ math] Es decir, tienes [math] n [/ math] direcciones independientes, y la dirección de un vector está dada por sus coordenadas con respecto a una base, generalmente elegida para ser ortonormal.

Si tiene un espacio de Hilbert separable (una noción más complicada), entonces tiene una base ortonormal contable, y puede usar nuevamente la noción estándar de dirección, a pesar de que ahora hay potencialmente infinitas direcciones independientes.