¿Qué es un vector propio?

Si su espacio vectorial tiene una base que consiste en vectores propios para una transformación (matriz) A, entonces A sería una matriz diagonal con respecto a esa base. Lo que significa que para cada uno de los vectores propios, la aplicación de A da como resultado una multiplicación de ese vector por una constante, sin influencia de las otras partes de su espacio. Esto es y siempre será considerado como una situación simple o un componente de toda la imagen que es fácil de controlar y manejar.

Ejemplos:

En sistemas vibratorios, como puentes, marcos de casas o instrumentos musicales, los valores propios y los vectores propios indican frecuencias propias y apuntan a fenómenos de resonancia. A veces deseado, a veces no tan deseado.

En la teoría cuántica, los vectores propios (aunque en un espacio dimensional infinito) son los estados simples de la materia, como los orbitales de los electrones en un átomo. Los valores propios son los valores de energía correspondientes, valores de giro, etc.

En el famoso algoritmo de PageRank de Google, la matriz es la matriz de incidencia de (parte de) la web, donde una entrada en la fila i, columna j significa un enlace desde el número de página web i al número de página web j. La aplicación iterativa de la matriz de incidencia simula el proceso de clic de un usuario de Internet, y si lo hace con la frecuencia suficiente, muestra los nodos más importantes (páginas web) como vectores propios y sus valores propios. Entonces, en lugar de repetir el proceso indefinidamente a menudo, usted va y calcula los vectores propios de la matriz de incidencia directamente. (Disculpas a todos los que conocen el algoritmo: es un poco más complicado que eso: debes insertar un elemento aleatorio para que el algoritmo no se atasque).

Trataré de responder esta pregunta con un escenario del mundo real.

Imagina una hoja gráfica. Tiene rejillas cuadradas y se ve así.

Dibuje un vector de su elección en esta hoja gráfica.

Ahora, supongamos que estira / aprieta la hoja en cualquier dirección. Esta es una transformación lineal . Si estira / aprieta la hoja, el vector original que dibujó puede cambiar su magnitud y dirección. Pero existen algunos vectores que no cambian su dirección incluso después de aplastar la hoja.

Por ejemplo, supongamos que dibujó un vector a = 0 i + 1 j y decidió estirar el papel en la dirección vertical, digamos el doble del tamaño. El nuevo vector se convierte en ‘ = 0 i + 2 j . En este caso, observa que la dirección del vector a no cambia. Este es un vector propio. El valor o el escalar por el cual el vector a se multiplica para obtener el nuevo vector a ‘ (2 en este caso) se denomina valor propio. El valor propio es el valor por el cual se aplasta el vector propio.

Otro ejemplo es que dibujas un vector b = 1 i + 1 j . Ahora sostenga dos esquinas opuestas de la hoja del gráfico y exprímalo por un factor arbitrario x. Si elige las esquinas superior derecha e inferior izquierda, el nuevo vector b ‘ = x i + x j tendrá la misma dirección, pero la magnitud se multiplicará por x * [math] sqrt (2) [/ math]. El factor de escala es el valor propio y el vector b es un vector propio.

Tenga en cuenta que el vector a cambiará de dirección con la segunda transformación a medida que tira de los ejes x e y. Por lo tanto, a no es un vector propio en el segundo caso. Del mismo modo, b no es un vector propio en el primer ejemplo.

Si el valor propio es negativo, significa que el vector propio invierte su dirección.

La definición de vector propio y valor propio se puede encontrar aquí.

Este es un ejemplo simple para demostrar la importancia del mundo real. Espero que esto ayude.

Una transformación lineal en un espacio vectorial asigna vectores en un subespacio a vectores en otro subespacio (piense en ello como pensaría en funciones que asignan puntos en un dominio a puntos en el rango, excepto que puede usar vectores en lugar de números) . En general, aplicar una transformación lineal a un vector puede rotarlo y / o estirarlo / reducirlo. Los vectores que solo se estiran / encogen bajo la transformación pero no se rotan se denominan vectores propios .

Definición: Supongo que sabes qué es una matriz y qué es un vector. Cuando multiplicas una matriz por un vector obtienes otro vector. Pero si el vector original es un vector propio, la multiplicación por la matriz se simplifica: el nuevo vector es igual al vector original multiplicado por un número llamado valor propio. Voila! Las matrices ahora actúan como números ordinarios: cada entrada de un vector propio parece que la multiplicación de matrices es solo aritmética.

¿A quién le importa ?: lo bueno aquí es en el mundo del vector propio, ¡la matriz era solo un número! Entonces, todas las cosas extrañas sobre las matrices desaparecen:

Si dos matrices comparten un vector propio, entonces la matriz de su producto tiene sus valores propios multiplicados

Del mismo modo, una función de la matriz se convierte en una función (unidimensional) del valor propio.

En álgebra lineal, un vector propio o vector característico de una transformación lineal es un vector distinto de cero cuya dirección no cambia cuando se le aplica esa transformación lineal. Más formalmente, si T es una transformación lineal de un espacio vectorial V sobre un campo F en sí mismo y v es un vector en V que no es el vector cero, entonces v es un vector propio de T si T (v) es un múltiplo escalar de v.

Gracias.

Un vector propio es un vector que, cuando se le aplica una transformación lineal particular, da como resultado un múltiplo escalar del mismo vector.

De hecho, el vector resultante será el vector propio multiplicado por el valor propio correspondiente.

Un vector propio de una transformación lineal es un vector que sigue apuntando en la misma dirección si le aplicas la transformación.