Si su espacio vectorial tiene una base que consiste en vectores propios para una transformación (matriz) A, entonces A sería una matriz diagonal con respecto a esa base. Lo que significa que para cada uno de los vectores propios, la aplicación de A da como resultado una multiplicación de ese vector por una constante, sin influencia de las otras partes de su espacio. Esto es y siempre será considerado como una situación simple o un componente de toda la imagen que es fácil de controlar y manejar.
Ejemplos:
En sistemas vibratorios, como puentes, marcos de casas o instrumentos musicales, los valores propios y los vectores propios indican frecuencias propias y apuntan a fenómenos de resonancia. A veces deseado, a veces no tan deseado.
En la teoría cuántica, los vectores propios (aunque en un espacio dimensional infinito) son los estados simples de la materia, como los orbitales de los electrones en un átomo. Los valores propios son los valores de energía correspondientes, valores de giro, etc.
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En el famoso algoritmo de PageRank de Google, la matriz es la matriz de incidencia de (parte de) la web, donde una entrada en la fila i, columna j significa un enlace desde el número de página web i al número de página web j. La aplicación iterativa de la matriz de incidencia simula el proceso de clic de un usuario de Internet, y si lo hace con la frecuencia suficiente, muestra los nodos más importantes (páginas web) como vectores propios y sus valores propios. Entonces, en lugar de repetir el proceso indefinidamente a menudo, usted va y calcula los vectores propios de la matriz de incidencia directamente. (Disculpas a todos los que conocen el algoritmo: es un poco más complicado que eso: debes insertar un elemento aleatorio para que el algoritmo no se atasque).