La respuesta fácil es: agregarle una matriz positiva definida . Si [math] S [/ math] es una matriz semidefinida positiva y [math] P [/ math] es una matriz definida positiva, entonces
[matemáticas] x ^ TS x \ geq 0 [/ matemáticas]
y
[matemáticas] x ^ TP x> 0 [/ matemáticas]
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para cualquier vector distinto de cero [math] x [/ math]. Así
[matemáticas] x ^ T (S + P) x = x ^ TSx + x ^ TPx> 0 [/ matemáticas]
entonces [matemáticas] S + P [/ matemáticas] es positivo definido.
Por supuesto, la pregunta que sigue es “¿qué matriz positiva definida agrego?”. Una respuesta simple es que cualquier matriz diagonal con entradas diagonales estrictamente positivas es positiva definida . En su respuesta, Allan Steinhardt sugiere usar un múltiplo positivo de la matriz de identidad como su matriz definida positiva para agregar a su matriz semidefinida positiva. Sin embargo, la matriz diagonal definida positiva que estamos agregando no necesita tener entradas diagonales iguales; estas entradas diagonales simplemente deben ser números positivos.
Otra pregunta que podría surgir es: ¿puedo multiplicar una matriz semidefinida positiva [matemática] S [/ matemática] por alguna otra matriz para hacerla positiva definida (en lugar de sumar )? La respuesta es no , a menos que [math] S [/ math] en realidad ya fuera positivo definido desde el principio. (Tenga en cuenta que una matriz semidefinida positiva puede ser positiva definida.) Para ver por qué multiplicar una matriz semidefinida positiva por otra matriz nunca produce una matriz definida positiva, considere el siguiente argumento:
Cualquier matriz semidefinida positiva que no sea definida positiva es singular. Si multiplicamos una matriz singular por cualquier otra matriz cuadrada, el resultado es otra matriz singular. Pero las matrices singulares no pueden ser definidas positivas, ya que las matrices definidas positivas tienen valores propios estrictamente positivos, por lo que no pueden tener el valor propio cero.