Dado un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] sobre [matemático] k [/ matemático], se podría definir algo llamado como el lineal funcional (forma 1), lo que esto hace es que come vectores y escupe un escalar.
[matemática] f: V \ a F [/ matemática] tal que
- [matemáticas] f (\ alpha v + \ beta w) = \ alpha f (v) + \ beta f (w) [/ matemáticas]
[math] \ forall v, w \ en V [/ math] y [math] \ alpha, \ beta \ in k. [/ math]
Un ejemplo estándar es [matemática] R ^ 3 [/ matemática], considere los vectores como vectores de columna para tener una función lineal, necesitará al menos un vector de fila para que el vector de fila actúe sobre los vectores de columna para producir un escalar. En este caso, los vectores de fila son ejemplos de funciones lineales.
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Es fácil verificar para este ejemplo que la colección de todas estas funciones lineales forma un espacio vectorial. Este espacio vectorial se llama espacio dual.
Entonces, si tiene un espacio vectorial, a partir del cual puede definir las funciones lineales, entonces la colección de todas esas funciones lineales en sí mismas forma un espacio vectorial. [1]
El punto principal a eliminar es que cada espacio vectorial viene con su espacio dual y para definir el producto interno necesitaría un vector del espacio vectorial y un vector del espacio dual, sucede que [matemática] R ^ 3 [/ math] es auto dual.
Una transformación lineal, por otro lado, se define como algo que come un vector y escupe otro vector, no necesariamente en el mismo espacio vectorial.
[matemática] T: V \ a W [/ matemática] tal que
- [matemáticas] T (\ alpha v_1 + \ beta v_2) = \ alpha T (v_1) + \ beta T (v_2) [/ matemáticas]
[math] \ forall v_1, v_2 \ en V [/ math] y [math] \ alpha, \ beta \ in k. [/ math]
Un buen ejemplo sería la rotación en [matemáticas] R ^ 2 [/ matemáticas], una matriz de rotación toma un vector en el espacio y lo gira, una composición de tales operaciones produciría lo mismo que si la segunda actuara sobre el resultado de que el primero actuó.
[matemáticas] (T_1 \ circ T_2) (v) = T_1 (T_2 (v)). [/ matemáticas]
Entonces, la composición de las transformaciones lineales también es una transformación lineal (fácil de probar).
Espero que esto ayude.
Notas al pie
[1] Forma lineal – Wikipedia