Deje que [matemática] P [/ matemática], [matemática] Q [/ matemática], [matemática] R [/ matemática] y [matemática] S [/ matemática] sean los cuatro vértices del tetraedro. Siguen las definiciones para facilitar el problema:
1) Una mediana de un tetraedro es el segmento desde un vértice hasta el centroide del lado opuesto.
2) El centroide de un triángulo es la intersección de las medianas de un triángulo.
3) La mediana de un triángulo es el segmento desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto.
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4) El punto medio de un segmento es el punto a medio camino entre los dos puntos finales.
Por lo tanto, para un segmento [matemática] PQ [/ matemática], el punto medio se puede expresar en la forma [matemática] \ frac {P + Q} {2} [/ matemática], donde [matemática] P [/ matemática] y [matemáticas] Q [/ matemáticas] están representadas por vectores de coordenadas.
Para un triángulo [matemática] PQR [/ matemática], el punto medio de [matemática] PQ [/ matemática] es [matemática] \ frac {P + Q} {2} [/ matemática], y por lo tanto, el segmento desde este punto medio para señalar [matemática] R [/ matemática] (llame a este segmento el [matemática] R [/ matemática] a [matemática] PQ [/ matemática] mediana) es, en forma paramétrica, [matemática] t_R R + (1-t_R ) \ frac {P + Q} {2} [/ math], donde [math] t_R [/ math] es un escalar en el intervalo [math] [0, 1] [/ math]. Las otras dos medianas tienen formas paramétricas similares: [matemáticas] t_P P + (1-t_P) \ frac {Q + R} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] t_Q Q + (1-t_Q) \ frac {P + R} {2} [/ matemáticas].
Cualquier intersección de las tres medianas debe ser expresable por las formas paramétricas de los dos segmentos correspondientes. La intersección (llámela [matemática] I [/ matemática]) de las tres medianas, si y solo si existe tal intersección, puede expresarse como cualquiera de [matemática] t_R R + (1-t_R) \ frac {P + Q} {2} [/ matemática], [matemática] t_P P + (1-t_P) \ frac {Q + R} {2} [/ matemática], o [matemática] t_Q Q + (1-t_Q) \ frac {P + R} {2} [/ matemáticas]. En [math] I [/ math] (si existe), las tres expresiones son iguales. De hecho, si [math] t_P [/ math], [math] t_Q [/ math] y [math] t_R [/ math] se establecen en [math] \ frac {1} {3} [/ math], entonces las tres expresiones se simplifican a [matemáticas] \ frac {P + Q + R} {3} [/ matemáticas]. (Por ejemplo, [matemáticas] t_R R + (1-t_R) \ frac {P + Q} {2} = \ frac {R} {3} + \ frac {2} {3} \ frac {P + Q} {2} = \ frac {P + Q + R} {3} [/ math], y de manera similar para las otras expresiones.
Por lo tanto, el centroide del triángulo [matemática] PQR [/ matemática] es [matemática] \ frac {P + Q + R} {3} [/ matemática], entonces la mediana de [matemática] S [/ matemática] a [matemática ] PQR [/ math] tiene la representación paramétrica [math] t_S S + (1-t_S) \ frac {P + Q + R} {3} [/ math]. (Nuevamente, [math] t_S [/ math] es un escalar en el intervalo [math] [0, 1] [/ math]). Del mismo modo, se deduce que las cuatro medianas son:
[matemáticas] t_S S + (1-t_S) \ frac {P + Q + R} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] t_R R + (1-t_R) \ frac {P + Q + S} {3} [/ matemáticas]
[matemática] t_Q Q + (1-t_Q) \ frac {P + R + S} {3} [/ matemática]
[matemáticas] t_P P + (1-t_P) \ frac {Q + R + S} {3} [/ matemáticas]
Si [math] t_P = t_Q = t_R = t_S [/ math], entonces todas estas expresiones son iguales a [math] \ frac {P + Q + R + S} {4} [/ math]. Por lo tanto, las cuatro medianas se encuentran en este punto. El hecho de que [math] t_P = \ frac {1} {4} [/ math] implica que la intersección es [math] \ frac {1} {4} [/ math] del camino desde el centroide de [math] QRS [/ math] a [math] P [/ math], y de manera similar para las posiciones de la intersección a lo largo de otras medianas.
Para un hipertetraedro dimensional [matemático] n [/ matemático], una afirmación análoga es cierta. Suponga que para un hipertetraedro con vértices [matemática] A_1 [/ matemática], [matemática] A_2 [/ matemática],…, [matemática] A_ {n-1} [/ matemática], las medianas se cruzan en [matemática] \ frac {1} {n-1} \ sum \ limits _ {r = 1} ^ {n-1} {A_r} [/ math]. La ecuación paramétrica del segmento de [matemáticas] A_n [/ matemáticas] a esta intersección de las medianas es, por lo tanto, [matemáticas] t_n A_n + (1 – t_n) \ left (\ frac {1} {n-1} \ sum \ límites _ {r = 1} ^ {n-1} {A_r} \ right) [/ math]. Del mismo modo, la mediana de [matemáticas] A_c [/ matemáticas] a la cara opuesta a [matemáticas] A_c [/ matemáticas] es [matemáticas] t_c A_c + (1 – t_c) \ izquierda (\ frac {1} {n-1} \ sum \ limits _ {r \ neq c} {A_r} \ right) [/ math], donde [math] r \ neq c [/ math] debe entenderse que significa que [math] r [/ math] adquiere todos los valores de 1 a [matemática] n [/ matemática], excepto [matemática] c [/ matemática]. Si [matemática] t_1 = t_2 =… = t_n = \ frac {1} {n} [/ matemática], entonces la expresión para la mediana de [matemática] A_c [/ matemática] a la cara opuesta [matemática] A_c [/ matemática], que es [matemática] t_c A_c + (1 – t_c) \ left (\ frac {1} {n-1} \ sum \ limits _ {r \ neq c} {A_r} \ right) [/ math] se evalúa como [matemáticas] \ frac {1} {n} A_c + \ left (1 – \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ frac {1} {n-1} \ sum \ limits _ { r \ neq c} {A_r} \ right) [/ math], que es [math] \ frac {1} {n} A_c + \ frac {1} {n} \ sum \ limits _ {r \ neq c} {A_r} [/ math], o, equivalentemente, [math] \ frac {1} {n} \ left (A_c + \ sum \ limits _ {r \ neq c} {A_r} \ right) [/ math], y el término [math] A_c [/ math] es exactamente el término omitido por la estipulación [math] r \ neq c [/ math], por lo que la expresión se evalúa como [math] \ frac {1} {n} \ sum \ límites _ {r = 1} ^ {n} {A_r} [/ math]. Esto es independiente de [matemáticas] c [/ matemáticas], por lo que hay un punto que está simultáneamente en todas las medianas, a saber, [matemáticas] \ frac {1} {n} \ sum \ limits _ {r = 1} ^ { n} {A_r} [/ math]. Por lo tanto, si esto (la fórmula para las intersecciones de las medianas) funciona para todos los hipertetraedros de una determinada dimensión, entonces funciona para todos los hipertetraedros de la siguiente dimensión superior. Por inducción, por lo tanto, funciona para todos los hipertetraedros de dimensión al menos 2 (ya que el hipertetraedro bidimensional es un triángulo, para el cual ya se demostró que la fórmula es verdadera). Para un hipertetraedro [math] n-1 [/ math] -dimensional, este punto es [math] \ frac {1} {n} [/ math] del camino desde cualquier hiperface al vértice opuesto.