Como es un polinomio cúbico, debe tener una raíz real. Como la curva toca el eje x, se garantiza una raíz real. Ahora, si una función toca el eje x, ese punto particular debe ser una raíz repetida de la función. Así que ahora tenemos dos raíces reales (pero no distintas). Dado que la otra raíz no puede ser imaginaria (las raíces imaginarias siempre ocurren en pares), la otra raíz también debe ser real. Entonces el polinomio tiene tres raíces reales, dos de las cuales son iguales.
Digamos por ejemplo este gráfico. Toca el eje x en el origen. Entonces el origen es una raíz repetida de la función. También debe tener otra raíz real que esté en x = -2.
La ecuación de la curva es así [matemáticas] (x-0) (x-0) (x + 2) = x ^ 2 (x + 2) = x ^ 3 + 2x ^ 2 [/ matemáticas]
- Encuentre el coeficiente de x ^ 49 en la expansión de [matemáticas] (x-1) (x-3) (x-5)… (x-99). [/ Matemáticas]?
- Cómo encontrar [math] \ displaystyle \ prod_ {r = 1} ^ {\ infty} (1- \ frac {1} {\ sqrt {r + 1}}) [/ math]
- ¿Hay algo malo con esta prueba de que [math] \ infty [/ math] = -1?
- Cómo resolver la ecuación [matemáticas] a = b \ sin (x) + c \ cos (x) [/ matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas]
- Si [matemáticas] x + \ frac {1} {x} = -1 [/ matemáticas], ¿cuál es el valor de [matemáticas] x ^ {99} + \ frac {1} {x ^ {99}} [ /matemáticas]?
Espero que haya sido útil.
Bien, entonces, si las raíces son racionales o no, comienzan desde aquí.
El polinomio debe tener la forma [math] (xa) ^ 2 * (xb) [/ math] como hemos discutido anteriormente.
Expandiendo esto obtenemos [matemáticas] x ^ 3-x ^ 2 * (b + 2a) + x * (x ^ 2 + 2ab) -a ^ 2 * b = 0 [/ matemáticas]
Es dado que los coeficientes son racionales. Entonces b + 2a debe ser racional. Entonces, [matemática] b + 2a = 0 [/ matemática] o ambas son racionales.
Si ambos son racionales, las raíces deben ser racionales.
En el otro caso b = -2a
Los términos constantes son [matemática] -a ^ 2 * b [/ matemática] que también es racional. Sustituyendo b obtenemos el coeficiente como [matemática] -2a ^ 3. [/ Matemática] Para que sea racional a tiene que ser racional. Esto implica que b también tiene que ser racional porque b = -2a. Entonces a y b son racionales, lo que significa que las raíces son racionales.
Entonces, en cualquier caso, tendremos raíces racionales.