¿Qué tan importante es el álgebra abstracta para las estadísticas?

No puedo evitar contar una historia sobre Milton Sobel, un estadístico prolífico de antaño. He contado algunas historias sobre él antes. Repetiré un poco para hacer que esta publicación sea autónoma: en el momento en que lo conocí era un profesor emérito de estadística de unos 80 años, y yo era estudiante de pregrado en matemáticas en la UCSB. Tenía un entusiasmo increíble por la vida en general y las matemáticas / estadísticas en particular. Siempre tenía una sonrisa en la cara, un brillo en los ojos y un surtido de basura completamente al azar desbordándose del bolsillo delantero de su camisa. Hablaba (siempre al máximo volumen) con un fuerte acento de Nueva York, y a menudo en una cadencia entrecortada que indicaba una ligera confusión o un pensamiento profundo, dependiendo de cuál fuera su opinión sobre él. Al conversar con él, tenía que responder con un volumen exagerado, porque estaba casi completamente sordo.

Pertinente a esta historia, fue un coleccionista de libros en un grado casi obsesivo / compulsivo. Su garaje para tres autos se convirtió completamente en una biblioteca. Y por “biblioteca” me refiero al almacenamiento de alta densidad, con estantes de piso a techo y muy poco espacio entre ellos. Su esposa hacía tiempo que le había prohibido comprar más libros, pero al ser un tipo malicioso, encontró formas de evitar la prohibición. (A veces sería cómplice en sus maniobras, apareciendo para “devolver” libros que había “prestado” anteriormente).

En cualquier caso, allí estuve un día, topando con UCSB. Me encontré con él y él me preguntó qué estaba haciendo. Mencioné que acabo de aprender qué subgrupos normales estaban en álgebra.

Tenía una característica mirada lejana en su ojo. “Subgrupos normales. ¡Subgrupos noooorrmales …..! Reclamo … ¡afirmo ser el primer estadístico en usar subgrupos normales en un libro!”

Yo bramé de vuelta, “Wow, ¿cómo se llamaba el libro?”

“Fue uhhh … Clasificación … uhhhh … quizás técnicas de … Clasificación … ¡Mira, lo olvido! ¡Pero definitivamente escribí sobre subgrupos normales!”

Recordé alejarme pensando: “genial. Espero poder tener tanta producción, y no tomarme tan en serio, que algún día pueda olvidar el título de un libro escrito”.

Efectivamente, tres semanas después me encontré con él nuevamente, y él me llamó a su oficina. “¡Tengo algo que enseñarte!” Subimos allí, y de debajo de un montón de basura saca este libro (cuyo título, apropiadamente, olvido por el momento). Pero ahí está, marcado con papel higiénico , es la sección donde habla sobre subgrupos normales.

Entonces: ¿cuán importante es el álgebra abstracta para las estadísticas? ¡No es súper importante, pero no completamente sin aplicaciones!

En las estadísticas tradicionales, no es gran cosa. Existe una disciplina conocida como estadística algebraica, y creo que hay un sentido general de que eso será un gran problema algún día, pero es realmente nuevo y aún está a punto de ser una colección de resultados en lugar de una teoría real.

No estoy del todo seguro, pero no creo que sea muy importante. Incluso con todo el nuevo trabajo en Machine Learning y Estadística, la mayoría de las Estadísticas de Alta Dimensión toma mucho del Álgebra Lineal, y eso es suficiente. El álgebra abstracta pasa a los grupos de estudio, anillos y campos {entre temas más complicados y abstractos, como la teoría de Galois o sus interacciones con la teoría de modelos}. Si bien es cierto que todos los espacios vectoriales están sobre algunos campos, y que el álgebra lineal esencialmente se descompone en transformaciones lineales sobre espacios vectoriales, creo que las leyes fundamentales del espacio vectorial son suficientes, y que no es necesario pasar por TODO el álgebra abstracta para eso.
Respuesta corta: incluso si la estadística es de alta dimensión, no debería necesitar álgebra abstracta.

No muy.

Estoy de acuerdo con Michael En estadística avanzada, la mayoría de lo que necesitará es cálculo avanzado y análisis matemático.