¿Cuántas funciones [matemáticas] f: X \ a X [/ matemáticas] hay de tal manera que [matemáticas] f (f (i)) = i [/ matemáticas] para [matemáticas] 1 \ leq i \ leq 4 [/ matemáticas ] donde [matemáticas] X = \ {1,2,3,4 \} [/ matemáticas]?

Answer 1

Estamos buscando el número de involuciones que se pueden definir en un conjunto con 4 elementos. Una involución es una función simétrica, es decir, si [matemáticas] (a, b) \ en f [/ matemáticas], entonces también tenemos [matemáticas] (b, a) \ en f [/ matemáticas].

El número de subconjuntos [matemática] \ {a, b \} [/ matemática] tal que [matemática] a \ neq b [/ matemática] de [matemática] X [/ matemática] viene dada por [matemática] C (4, 2) = 6 [/ matemáticas]. Además, tenemos los pares de identidad [math] (a, a) [/ math], de los cuales hay 4. Tenga en cuenta que como [math] f [/ math] es una involución, hay tres posibilidades:

1. [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] no tiene soluciones. En este caso, hay [matemáticas] C (6, 1) / 2 = 6/2 = 3 [/ matemáticas] tales involuciones, ya que cada dos opciones de conjuntos corresponden a una involución.
2. [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] tiene dos soluciones. En este caso, hay [matemáticas] C (4, 2) = 6 [/ matemáticas] tales involuciones.
3. [matemáticas] f (x) = x [/ matemáticas] tiene cuatro soluciones: esta es la función de identidad.

En total, tenemos involuciones [matemáticas] 10 [/ matemáticas] que se pueden definir en el conjunto.

Answer 2

Primero demostremos que la función requerida debe ser one-one. Para probar eso, supongamos lo contrario, es decir, [matemática] \ existe i, j \ en X: f (i) = f (j) = k, [/ matemática] donde [matemática] k \ en X [/ matemática ] y [matemáticas] i \ ne j [/ matemáticas]. Entonces, [math] f (f (i)) = f (f (j)) = f (k) [/ math], que tendría un valor único ya que [math] f [/ math] es una función, y no puede satisfacer [math] f (f (i)) = i [/ math] y [math] f (f (i)) = j [/ math] simultáneamente. Por lo tanto, [math] f [/ math] debe ser one-one y, por consiguiente, también en.

Una vez establecido esto, podemos expresar la condición dada como [matemáticas] f (i) = f ^ {- 1} (i) [/ matemáticas], para [matemáticas] 1 \ le i \ le 4 [/ matemáticas], que nos dice que la función requerida debe ser simétrica con respecto a la función de identidad. Una de esas funciones triviales es obviamente la función de identidad misma. ¿Cómo contamos el número de tales funciones posibles?

Es obvio que si mapeamos un elemento [math] i [/ math] a [math] j [/ math], donde [math] i \ ne j [/ math], entonces necesitamos mapear [math] j [ / matemática] en [matemática] i [/ matemática] también, de modo que [matemática] f (f (i)) = i [/ matemática] y [matemática] f (f (j)) = j [/ matemática] . Esto significa que hay dos posibilidades: mapear un elemento sobre sí mismo o emparejarlo con otro elemento del dominio, de modo que ambos elementos de ese par se mapeen entre sí. Entonces, todo lo que tenemos que hacer es contar la cantidad de formas de hacerlo.

Para el conjunto dado [math] X [/ math], obtenemos tres tipos de funciones:

• funciones donde ningún elemento se asigna a sí mismo

• Para contar tales funciones, necesitamos contar la cantidad de formas en que se pueden emparejar 4 elementos. Esto viene dado por [math] \ dfrac {4!} {(2!) ^ 2.2!} [/ Math] = exactamente 3 formas, que corresponden a 3 funciones únicas.

funciones donde exactamente dos elementos se asignan a sí mismos

• Estos dos elementos se pueden seleccionar de [math] ^ {4} C_2 [/ math], y los dos elementos restantes se pueden agrupar de una sola manera. Esto nos da 6 de tales funciones.

funciones donde los cuatro elementos se asignan sobre sí mismos (función de identidad, caso trivial), una función más.

Sumando, obtenemos 10.

También está claro cómo se puede generalizar el enfoque anterior para obtener una fórmula general para un dominio que contiene elementos [matemáticos] N [/ matemáticos].

Answer 3

Estoy de acuerdo con Adrian

Pero la función dada también puede ser simétrica con respecto a la función de identidad, como

f (1) = 3, f (3) = 1, f (2) = 4, f (4) = 2 también es una solución.

Por lo tanto, puede haber 6 funciones más que son soluciones, pero se repetirán dos veces si tomamos todas las combinaciones de 2 a 4 en X. Por lo tanto, hay 3 funciones además de la solución de función de identidad a lo que se solicita.