La secuencia recursiva está definida por [math] a_0 = \ sqrt {2} [/ math] y [math] a_ {n + 1} = \ sqrt {2 + a_n} [/ math]. Probamos dos resultados sobre esta secuencia:
La secuencia está limitada desde arriba. De hecho, tenemos [math] a_n \ leq 2 [/ math] para todos los números en la secuencia. Lo demostramos por inducción. Es evidente que [math] a_0 \ leq 2 [/ math], por lo que se establece el caso base. Ahora, observe que [math] a_ {n + 1} = \ sqrt {2 + a_n} \ leq \ sqrt {2 + 2} = 2 [/ math] y hemos terminado.
La secuencia es monótona creciente. Es suficiente demostrar que [matemáticas] a_ {n + 1} ^ 2 \ geq a_ {n} ^ 2 [/ matemáticas], que es equivalente a [matemáticas] a_ {n} ^ 2 – a_n – 2 = (a_n – 2) (a_n + 1) \ leq 0 [/ math]. Sin embargo, esto se deduce directamente de los hechos de que [math] a_n \ leq 2 [/ math] y que [math] a_n [/ math] es una secuencia positiva.
A partir de estos dos hechos y el teorema de convergencia monótono, concluimos que la secuencia [math] a_n [/ math] tiene un límite finito. Denote este límite con [math] L [/ math]. Entonces nosotros tenemos
- ¿Se puede escribir la ecuación de los puntos (-4, 3) y (-4, 9) en la forma general Ax + By + C = 0? Todo lo que acerté es B = 0, ¿a qué son iguales A y C?
- Podemos imaginar [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] como un cuadrado y [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] como un cubo. ¿Cómo podemos imaginar [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] y otros poderes superiores?
- Si a * b = c y sé qué es a, ¿cómo obtengo c?
- Cómo calcular [matemática] \ int x (x + 8) ^ {3/2} [/ matemática] si la sustitución [matemática] u = \ sqrt {x + 8} [/ matemática]
- Cómo mostrar que [math] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) g (x) \, dx \ geq 1 [/ math] para dos funciones [math] f [/ math] y [ matemática] g [/ matemática] tal que [matemática] f (-x) = 1 / f (x) [/ matemática] y [matemática] \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} g (x) \, dx = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} a_ {n + 1} = \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} \ sqrt {2 + a_n} = \ lim_ {n \ to \ infty} a_n [/ math]
[matemáticas] \ sqrt {L + 2} = L [/ matemáticas]
[matemáticas] L = 2 [/ matemáticas]
y ya hemos terminado.