Cómo calcular [matemática] \ int x (x + 8) ^ {3/2} [/ matemática] si la sustitución [matemática] u = \ sqrt {x + 8} [/ matemática]

Answer 1

Usar una sustitución es la forma incorrecta de resolver este problema. Comencemos con lo siguiente:

[matemáticas] \ frac {df (x) g (x)} {dx} = f (x) g ‘(x) + f’ (x) g (x) [/ matemáticas]

A continuación, podemos integrar ambos lados de la regla de la cadena.

[matemáticas] \ int \ frac {df (x) g (x)} {dx} = \ int f (x) g ‘(x) + \ int g (x) f’ (x) [matemáticas]

Ahora simplificamos y movemos algunas cosas para obtener algo con lo que sea más fácil trabajar. Finalmente concluimos con lo siguiente:

[matemáticas] \ int f (x) g ‘(x) = f (x) g (x) – \ int g (x) f’ (x) [/ matemáticas]

Todo lo que he hecho es derivar la integración por partes para usted, pero pensé que ayudaría a aclararlo un poco. Comencemos definiendo lo siguiente:

[matemáticas] f (x) = x; g ‘(x) = (x + 8) ^ \ frac {3} {2} dx [/ math]

La elección de qué parte va a dónde depende de usted, pero esta elección lo hará considerablemente más fácil. Ahora busquemos los otros dos valores que necesitamos sustituir

[matemáticas] f ‘(x) = dx; g (x) = \ frac {2} {5} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} [/ matemáticas]

Ahora todo lo que tenemos que hacer es sustituir y resolver y ya hemos terminado.

[matemáticas] \ int x (x + 8) ^ \ frac {3} {2} dx = x \ frac {2} {5} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} – \ int \ frac {2} {5} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int x (x + 8) ^ \ frac {3} {2} = x \ frac {2} {5} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} – \ frac {4} {35} (x + 8) ^ \ frac {7} {2} + C [/ matemáticas]

Sin embargo, si tiene que usar la sustitución, todavía es posible. Exploremos eso y veamos si obtenemos las mismas respuestas. Primero, resolvamos la sustitución de x, y encontremos dx para sustituir también.

[matemáticas] u = \ sqrt {x + 8}; du = \ frac {dx} {2 \ sqrt {x + 8}} = \ frac {dx} {2u} [/ math]

[matemáticas] dx = 2udu; x = u ^ 2-8 [/ matemáticas]

Ahora, reescribamos nuestra integral para reflejar estas nuevas sustituciones.

[matemáticas] \ int x (x + 8) ^ \ frac {3} {2} dx \ rightarrow \ int (u ^ 2-8) (u ^ 3) 2udu = \ int (2u ^ 6-16u ^ 4) du [/ math]

Ahora podemos usar esto para completar fácilmente la integral y volver a sustituir la función en términos de x.

[matemáticas] \ int (2u ^ 6-8u ^ 4) du = \ frac {2} {7} u ^ 7- \ frac {16} {5} u ^ 5 + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int x (x + 8) ^ \ frac {3} {2} = \ frac {2} {7} (x + 8) ^ \ frac {7} {2} – \ frac {16} { 5} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} + C [/ matemáticas]

Ahora, ambos resultados pueden parecer bastante diferentes, pero ambos se pueden simplificar en lo siguiente (que es la integral que está buscando):

[matemáticas] \ frac {2} {35} (x + 8) ^ \ frac {5} {2} (5x-16) + C [/ matemáticas]

Answer 2

Usando su sustitución, la clave es notar que x = u ^ 2-8. Además, (x + 8) ^ (3/2) = (sqrt (x + 8)) ^ 3 = u ^ 3. Entonces el integrando se convierte en u ^ 3 (u ^ 2-8) dx. Ahora tratamos con el dx usando dx = x’du. x ‘= 2u, entonces el diferencial es 2udu haciendo que el integrando 2u ^ 4 (u ^ 2-8) du. Expandir esto hace que sea relativamente fácil de integrar (como un polinomio en u).

Además, como ya se mencionó y como es el caso en muchas integrales, hay otras formas de hacer esta integral (por ejemplo, use la integración por partes. Para esto tendría u = x, v ‘= (x + 8) ^ ( 3/2). Al usar esto, en algún momento necesitarías hacer la sustitución w = x + 8 pero esto es bastante rutinario y más allá de eso no deberías tener problemas). Sin embargo, su sustitución es una muy buena manera de hacer esto en particular. Espero que ayude.

Gracias por el A2A.

Answer 3

Dada la sustitución anterior, entonces [math] u ^ 2 = x + 8, x = u ^ 2 -8 y dx = 2udu [/ math] Esto da [math] \ displaystyle \ int {u ^ 2 -8.u ^ 3} .2udu = \ int {2u ^ 6 -16u ^ 4} du = 2u ^ 7/7 -16u ^ 5/5 + c [/ math] [math]. [/matemáticas]

Al sustituir el valor de u, nuestra respuesta final ahora será

[matemáticas] \ dfrac {2 (x + 8) ^ (\ dfrac {7} {2})} {7} – \ dfrac {16 (x + 8) ^ {\ dfrac {5} {2}}} { 5} + c [/ matemáticas]

Perdón por no usar el signo integral

Answer 4

No necesita esa sustitución, complicará el proceso.
Puede evaluar esta integral por partes, tomando [math] x [/ math] como la primera función y la última como la segunda función.

Answer 5

Observe que [math] u = \ sqrt {x + 8} \ Rightarrow x = u ^ 2-8 [/ math] y [math] du = \ frac {dx} {2 \ sqrt {x + 8}} = \ frac {1} {2u} \; dx, [/ math] para que la integral se convierta

[matemáticas] \ displaystyle 2 \ int \ left (u ^ 2-8 \ right) u ^ 4 \; du. [/ math]

Ahora expanda y esto se vuelve trivial.

Answer 6

reemplace x con u ^ 2 – 8, (x + 8) ^ (3/2) con u ^ 3, y dx con 2u du y se convierte en una simple integración polinómica en u (luego reescriba la respuesta en términos de x)