Podemos imaginar [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] como un cuadrado y [matemáticas] x ^ 3 [/ matemáticas] como un cubo. ¿Cómo podemos imaginar [matemáticas] x ^ 4 [/ matemáticas] y otros poderes superiores?

Answer 1

Voy a explicarte una forma de visualizar la 4ta dimensión, tómate tu tiempo para adaptarte a este método … 😉

Nota: la siguiente explicación está directamente inspirada en una lección de OpenClassroom (francés).

Estudiemos la dimensión uno por uno para comprender cómo funciona:

• La dimensión 0 (bastante simple), solo tiene un punto … un punto es una forma que pertenece a la dimensión 0, no tiene longitud.
• Ahora es más interesante, en la 1ª dimensión tienes líneas, longitud. Una dirección posible: izquierda / derecha, o el eje x . Puede dibujar cualquier línea que desee, todas pertenecerán a la 1ª D. El perímetro de un cuadrado (o cualquier forma geométrica, olvida los fractales) es una línea y es una forma unidimensional.
• Ahora, en la segunda dimensión tiene una dirección más: arriba / abajo (o el eje y ). La segunda dimensión se refiere a superficies (cuadrados, discos, etc.)
• 3rdD, se vuelve fácil: adelante / atrás (o eje z ), los volúmenes (cubos, esferas, etc.).

Por ahora tienes 3 direcciones: xyz.

Cada dimensión trae una nueva dirección. Ahora entiendes, en la 4ª D tienes 4 direcciones! El escritor y matemático Charles Howard Hinton (finales del siglo XIX) nombró a esta dirección Ana / Kata (de etimología griega).

¡Imagina un espacio donde puedes ir hacia otra dirección! … Sí, puede ser difícil de hacer, la cuarta dimensión es una noción muy abstracta y si la escuchaste por primera vez necesitas pensarlo, sigue leyendo, pronto te acostumbrarás a este concepto 😉

Ahora bienvenido a Flatland!

(Imágenes extraídas de la lección de OpenClassroom).

El profesor Edwin A.Abbott encontró esta manera de ayudar a visualizar 4thD.

Poeple en Flatland no se ve, hay paredes. Si el hombre quiere caminar hacia el lado izquierdo, tiene que trepar al árbol. La casa no tiene puertas, pero si había una, cuando alguien la abre, ¡se derrumba toda la casa! Desde nuestra vista 3D, podemos ver que hay una mina de oro que la gente de Flatland no espera, para alcanzarla tienen que cortar el árbol y cavar.

Pregunta: ¿Cómo puede explicarle a la gente de Flatland la tercera dimensión, dimensión que no conocen?

Puedes mostrarles una forma tridimensional, como una esfera. Pero la esfera no encaja en el plan.

La esfera se cruza con Flatland pero el chico en el piso solo ve una sección de esta esfera: un disco.

¿Pero qué pasa si mueves la esfera? Los habitantes verán primero un pequeño disco que aparece en el centro de la habitación como por arte de magia, que crece hasta que la forma alcanza su centro y se contrae hasta desaparecer …

Entonces: ¿Qué vas a ver si una esfera de 4 dimensiones (hiperesfera) atraviesa nuestro espacio 3D?

La respuesta es similar: verá una esfera que aparece en el centro de su habitación como por arte de magia, que crece hasta que el objeto alcanza su centro y se contrae hasta desaparecer … En cada instante, ve una sección diferente de la hiperesfera.

¡Admito que este tipo de experiencia es muy poco común! ^^ Pero gracias a esta explicación, ¡es mucho más fácil visualizar 4thD y 5thD si lo desea! Fascinante!

Y lo mismo con un cubo (como su pregunta original). Si un hipercubo atraviesa nuestro espacio, verá un cubo que aparece de un vistazo, y un segundo después no queda nada (o un minuto después, dependiendo de la velocidad de su hipercubo).

¡Espero que esta respuesta sea útil! Para cualquier comentario o pregunta latente, ¡solo deja un comentario! 😉

Answer 2

Tengo una perspectiva diferente de la mayoría de los otros que han respondido la pregunta (hasta ahora). Históricamente, los matemáticos pensaban en x ^ 2 como el área de un cuadrado del lado x, y x ^ 3 como el volumen de un cubo, lo cual está bien, pero limita. Una idea en la historia de las matemáticas es que el progreso matemático se detuvo, o al menos disminuyó, hasta que los matemáticos comenzaron a ver los productos como adimensionales.

Por ejemplo, considere el polinomio x ^ 3 + 2x ^ 2 + 5x + 1. ¿Cómo agregamos un cubo y dos cuadrados y cinco segmentos de línea y uno lo que sea? Podemos complicar la situación e imaginar que 2 tiene una dimensión lineal, 5 tiene una dimensión cuadrada y 1 tiene una dimensión de cubo, en cuyo caso estamos agregando cubos (o al menos objetos tridimensionales). A veces, ese razonamiento puede ayudar, como en, por ejemplo, el análisis dimensional en física, pero el razonamiento parece innecesariamente complicado desde el punto de vista moderno, y puede llevarnos a evitar incluso considerar situaciones en las que no podemos eliminar las incompatibilidades dimensionales dando dimensiones a constantes.

Por ejemplo, ¿cuál sería la dimensión adecuada para las series infinitas 1 + 2x + 3x ^ 2 + 4x ^ 3 + \ cdots? El único objeto dimensional que podría tener sentido es un “cubo de dimensión infinita”, en cuyo caso el primer coeficiente 1 sería de dimensión infinita, el segundo coeficiente 2 sería infinito – 1 dimensional (¿dimensión infinita?) Y así sucesivamente. En otras palabras, el análisis dimensional no nos da ninguna idea en esta situación.

Visualizar cubos y cajas rectangulares aparentemente ayudó a Cardano y otros a visualizar la solución de Cardano a la ecuación cúbica, pero sugiero que usar el razonamiento dimensional en la mayoría de las situaciones más complejas hace más daño que bien la mayor parte del tiempo. Cuando funciona, funciona bien, pero casi nunca funciona en las matemáticas modernas.

Answer 3

La Proposición VI.12 de Elementos de Euclides le ofrece una forma de hacerlo en dos dimensiones, como señaló Descartes.

Formalmente, es cómo construir una cuarta [matemática] ab [/ matemática] proporcional dada [matemática] u [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática]. [matemática] u [/ matemática] indica la unidad de longitud [matemática] 1 [/ matemática]. Dibuja segmentos de línea de longitud [matemática] u [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] que emanan de un punto en diferentes direcciones. Extienda [math] u [/ math] por [math] a [/ math]. Dibuje las líneas paralelas como se indica en el diagrama. Entonces el cuarto proporcional [math] ab [/ math] es como se indica.

Ahora si [matemática] u = 1 [/ matemática] y [matemática] a = b = x [/ matemática], entonces [matemática] ab = x ^ 2 [/ matemática]. Luego, si extiende la línea superior en [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y dibuja otro paralelo, obtendrá un segmento [matemática] x ^ 3 [/ matemática]. Puedes mantener eso con todos los poderes que quieras.

Descartes usó el VI.12 de Euclides para analizar la multiplicación y división geométricamente. Los poderes son solo una extensión de la multiplicación.

Answer 4

En general, [matemática] x ^ n [/ matemática] representa el valor que obtendría al multiplicar [matemática] n [/ matemática] copias del valor de [matemática] x [/ matemática]. No tienes que poner una interpretación geométrica en la multiplicación. Solo porque sucede que [matemática] x ^ 3 [/ matemática] es el volumen del cubo de tamaño [matemática] x [/ matemática], no hay un valor particular al tratar de generalizar este hecho (muy conocido). De hecho, cuando intenta extenderlo a dimensiones más altas, es más probable que solo genere confusión. Por ejemplo, ¿qué interpretación geométrica podríamos colocar en [matemáticas] x ^ {100} [/ matemáticas]? No importa, porque casi nunca hay necesidad de discutir cubos 100D. Por otro lado, a menudo hay situaciones en las que queremos hablar sobre elevar los números a altas potencias, pero la interpretación no necesita ser geométrica. Por ejemplo, [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} (1 + 1 / n) ^ n = e [/ matemáticas].

Answer 5

Podemos usar nuestro viejo amigo llamado analogía.

1. x * x es un cuadrado.
2. x * x * x es un cubo.
3. x * x * x * x es un hipercubo. Es un objeto 4D que tiene ocho cubos a sus lados (el cubo normal tiene seis cuadrados, dos cuadrados por dimensión – 2 cuadrados * 3D = seis caras: el hipercubo está relacionado con 4 dimensiones, lo que significa que tiene dos “caras” más “, para la nueva dimensión).
4. x * x * x * x * x es más que un hipercubo. Estoy en el noveno grado, ¡ni siquiera sé el término para un cubo 5D! Pero supongo que se vería como un cubo con 10 caras, cada una de las cuales es un hipercubo.
5. x * x * x * x * x * x tiene 12 caras, cada una con un cubo 5D.
6. … y así.

Ahora, buena suerte imaginando!

Answer 6

Varias de las otras respuestas son buenas, pero quería arrojar mis 2 centavos. Estás entrando en las definiciones geométricas de exponentes. x ^ 2 es x veces x. Si tuviera que visualizar esto en un plano, verá un cuadrado (por eso se lee “x cuadrado”). Esto sería bidimensional. Puedes hacer lo mismo para x ^ 3, que ahora será tridimensional. Entonces, si tienes x ^ 4, tienes algo en cuatro dimensiones. Como humanos, nunca hemos tenido una razón para percibir en cuatro dimensiones, por lo que nunca ganamos la habilidad. Dicho esto, aprender a dibujar un tesseract (cubo de cuatro dimensiones) me ha ayudado a “visualizar” el espacio de cuatro dimensiones. No es una visualización perfecta. Pero no está mal.

La forma de hacerlo es subiendo una dimensión a la vez. Comience con un objeto de 0 dimensiones. Esto es un punto no tiene altura, longitud o ancho.

Ahora, pon esto en una recta numérica. La línea numérica que todos conocemos y amamos desde la escuela secundaria es una línea horizontal, así que así es como comenzaremos. La recta numérica es una figura unidimensional. Para construir esto, comience en el punto y vaya a lo largo de la línea numérica (eje x) a cierta distancia. Esta parte tendrá más sentido más adelante.

Sube una dimensión. Para obtener una figura bidimensional, cree otro eje. De nuevo, el que todos conocemos y amamos es el eje vertical (que es el eje y). Desde cada punto, vaya paralelo al nuevo eje de la misma longitud. Luego, conecta los puntos. Observe que las líneas verticales son rojas y las horizontales son azules. Esto ayudará con la figura final.

Para llegar a tres dimensiones, necesitas profundidad. Necesita esto para que parezca que le sale o vuelve a la pantalla. Normalmente hacemos esto dibujando un nuevo eje en diagonal para darle una ilusión de profundidad. Desde cada uno de los puntos que tiene, vaya a lo largo del nuevo eje el mismo número de unidades y conecte los puntos. Nuevamente, observe el esquema de color. Vertical es rojo, horizontal es azul, y ahora la profundidad es verde.

Entonces, ahora tenemos hasta 3 dimensiones. Cuatro es donde las cosas se ven divertidas. Comience por determinar en qué dirección irá el nuevo eje. El primero era horizontal, el segundo vertical, el tercero entra en la pantalla. Entonces, ¿a dónde va el cuarto eje? En cualquier lugar que quieras. En realidad no importa porque esto es algo que no se puede definir. Pondré el último eje hacia arriba y hacia la izquierda. Vaya desde cada uno de los puntos (ahora 8 puntos) y dibuje líneas de la misma longitud en esta nueva dirección. Haremos que esta nueva dirección sea púrpura.

Y conecta los puntos

Entonces, para visualizar en cuatro dimensiones, empiezo a correr. Solo tenga en cuenta que va en una nueva dirección cada vez.

Answer 7

Descargo de responsabilidad: mis visualizaciones no son una muy buena analogía. Pero no creo que haya una forma “correcta” de visualizar más de 3 dimensiones de todos modos, ya que no podemos verlas en la vida real. Para los cuartos poderes, generalmente visualizo una línea de cubos. Para quintas potencias, un cuadrado de cubos. Y para sextos poderes, un cubo de cubos. También sé en mi cabeza que no puedes moverte más allá de los límites de cada cubo al siguiente. Un poco estúpido, lo sé.

Answer 8

A medida que te involucras más en las matemáticas, descubres que no necesitas algún tipo de “imaginación” de estos conceptos. Son solo relaciones matemáticas, y puedes sentirte cada vez más cómodo simplemente “empujándolos”, entendiendo cómo encajan entre sí y qué puedes construir al unirlos de manera productiva.

Answer 9

Me gusta esto:

Esperemos que esté claro que el cuadro superior izquierdo (de los 9) es su primer cubo. Entonces puede ver que tiene matrices y eventualmente cubos de cubos (x ^ 6).

Esto funciona bien para la representación de datos, al menos para x ^ 5. Por ejemplo, tomemos x ^ 4 y dejemos que nuestras dimensiones sean longitud, ancho, alto y tiempo:

Podemos ver la longitud, el ancho y la altura en cada punto en el tiempo. El objeto que representamos se hace más pequeño a medida que pasa el tiempo. Tal vez es un cubo de hielo.

Tal vez en el escenario x ^ 5, nuestra quinta dimensión podría ser la temperatura, por lo que la fila superior podría ser una “temperatura media”, la fila central podría estar “muy caliente” y la inferior podría estar “muy fría”, por lo que el cubo de hielo no No se derrita en absoluto.

Sin embargo, lo que alguien más dijo es cierto: si está trabajando en matemáticas de orden superior, poder visualizar (y con suerte la necesidad de visualizar) desaparece rápidamente. Pensé en mi respuesta a esta pregunta en un experimento mental en la universidad hace muchos años.

http://jimmyivory.com/baldmmp/es …

Answer 10

Bueno, sería un hipercubo de cuarta dimensión.

Para el ejemplo que diste, x ^ n produciría el equivalente en la enésima dimensión.

La imagen a continuación puede ser más clara:

Aquí hay una 5D (x ^ 5):

(Puedo o no haber descubierto cómo adjuntar fotos y volverme loco)