Dado [matemáticas] \ alpha + \ beta = \ frac {π} {2} [/ matemáticas]
Sabemos que [math] \ cos (\ frac {π} {2} – \ theta) = \ sin \ theta [/ math]
Ahora, [matemáticas] \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} (2 \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ matemáticas])
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[matemáticas] = \ frac {1} {2} (\ cos (\ frac {\ alpha – \ beta} {2}) + \ cos (\ frac {\ alpha + \ beta} {2})) [/ math ]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} (\ cos (\ frac {\ alpha – \ beta} {2}) + \ cos \ frac {π} {2})) [/ math]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ cos (\ frac {\ alpha – \ beta} {2}) [/ matemáticas] – (1)
Ahora sabemos que el rango del coseno es de [matemáticas] [- 1,1]. [/ Matemáticas]
Entonces, el valor máximo de la expresión dada es [math] \ frac {1} {2} × 1 = \ frac {1} {2} [/ math]
¡Espero eso ayude!
Nota:
La ecuación (1) todavía se puede simplificar pero no es necesaria.
Método 2:
[matemáticas] \ sin \ alpha \ sin \ beta [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin \ alpha \ sin (\ frac {π} {2} – \ alpha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sin \ alpha \ cos \ alpha [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} (2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ sin 2 \ alpha [/ matemáticas]
Ahora el rango del pecado es de [matemáticas] [- 1,1]. [/matemáticas]
Por lo tanto, el valor máximo es [math] = \ frac {1} {2} × 1 = \ frac {1} {2} [/ math]