Cómo encontrar el volumen de un sólido obtenido al rotar la región delimitada por [matemática] x = (y-3) ^ 2 [/ matemática] yx = 4 sobre y = 1

Answer 1

Usando el método de carcasa cilíndrica (con cortes horizontales)

[matemática] V = 2 \ pi \ displaystyle \ int_1 ^ 5 (y-1) (4- (y-3) ^ 2) \, dy [/ math]

[matemáticas] = 2 \ pi \ displaystyle \ int_1 ^ 5 (-y ^ 3 + 7y ^ 2–11y + 5) \, dy [/ math]

[matemáticas] = 2 \ pi \ bigg [- \ dfrac {1} {4} y ^ 4 + \ dfrac {7} {3} y ^ 3– \ dfrac {11} {2} y ^ 2 + 5y \ bigg ] _1 ^ 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 \ pi \ bigg [\ bigg (- \ dfrac {625} {4} + \ dfrac {875} {3} – \ dfrac {275} {2} +25 \ bigg) – \ bigg (- \ dfrac {1} {4} + \ dfrac {7} {3} – \ dfrac {11} {2} +5 \ bigg) \ bigg] [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {128 \ pi} {3} [/ matemáticas]

Usando el método de la lavadora (con cortes verticales)

[matemáticas] V = \ pi \ displaystyle \ int_0 ^ 4 [((3+ \ sqrt {x}) – 1) ^ 2 – ((3- \ sqrt {x}) – 1) ^ 2] \, dx [ /matemáticas]

[math] = \ pi \ displaystyle \ int_0 ^ 4 (8 \ sqrt {x}) \, dx [/ math]

[math] = \ dfrac {16 \ pi} {3} \ Big [x ^ \ frac {3} {2} \ Big] _0 ^ 4 [/ math]

[matemáticas] = \ dfrac {16 \ pi} {3} (8–0) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {128 \ pi} {3} [/ matemáticas]