Cómo simplificar la fracción compleja por el método 2

Answer 1

Gran respuesta de Robby Goetschalckx. Pero me gustaría agregar un enfoque que me vino a la mente de inmediato cuando vi la expresión.

Dado que el OP no ha especificado claramente qué se entiende realmente por el “método [matemático] 2 [/ matemático]”, voy a dar un salto aquí y usaré algo llamado la regla de Componendo , que esencialmente dice:

Si [matemática] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} [/ matemática], entonces [matemática] \ dfrac {a + b} {b} = \ dfrac {c + d} {d }[/matemáticas]

[[matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas]]

¿Cómo? Bueno, demostrémoslo rápidamente:

[matemáticas] \ dfrac {a + b} {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {b (\ dfrac {a} {b} + 1)} {b} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ dfrac {\ dfrac {a} {b} + 1} {1} [/ matemáticas]

[matemática] = \ dfrac {\ dfrac {c} {d} + 1} {1} [/ matemática] [porque [matemática] \ dfrac {a} {b} = \ dfrac {c} {d} [/ matemática ]]

[matemáticas] = \ dfrac {c + d} {d} [/ matemáticas]

QED

Esta regla, junto con su regla hermana, la regla de Dividendo , forma la base de simplificar muchas expresiones racionales donde es claramente observable que el numerador y el denominador “se ven iguales”, pero solo con signos opuestos, que parece ser el caso aquí también. Echa un vistazo aquí para más detalles.

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Ahora, a la pregunta en cuestión. Considerar:

[matemáticas] \ dfrac {\ dfrac {6} {5r – 1} – 6} {\ dfrac {6} {5r – 1} + 6} = k [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 1 }[/matemáticas]]

Ahora, podrías preguntarte, ¿por qué debemos asumir que la fracción es igual a una constante? Bueno, eso es porque, como habrás notado, la regla de Componendo se aplica a las proporciones, y no solo a las proporciones. Es decir, ambos lados de la expresión deben estar involucrados en la manipulación. Y solo necesitamos establecer un valor de [math] k [/ math]. Es tan simple como eso.

Entonces, aplicando [math] {\ color {red} 0} [/ math] en ambos lados de la ecuación [math] {\ color {red} 1} [/ math], obtenemos:

[matemáticas] \ dfrac {\ dfrac {6} {5r – 1} – 6 + \ dfrac {6} {5r – 1} + 6} {\ dfrac {6} {5r – 1} + 6} = \ dfrac { k + 1} {1} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {2 (\ dfrac {6} {5r – 1})} {\ dfrac {6} {5r – 1} + 6} = k + 1 [/ math]

[cancelando las [matemáticas] 6 [/ matemáticas] s desde el numerador de LHS]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {2 (\ dfrac {6} {5r – 1})} {\ dfrac {6} {5r – 1} [1 + (5r – 1)]} = k + 1 [/ matemática ]

[tomando el término [math] \ dfrac {6} {5r – 1} [/ math] fuera común del denominador en LHS]

[math] \ Rightarrow \ dfrac {2} {5r} = k + 1 [/ math]

[Simplificando la expresión [math] [1 + (5r – 1)] [/ math] y cancelando el término común [math] \ dfrac {6} {5r – 1} [/ math] tanto del numerador como del denominador en el LHS]

[math] \ Rightarrow k = \ dfrac {2} {5r} – 1 [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {\ dfrac {6} {5r – 1} – 6} {\ dfrac {6} {5r – 1} + 6} = \ dfrac {2} {5r} – 1 [/ math]

[de [matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]

QEF

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Para obtener más información sobre cómo funcionan C y D, es posible que desee echar un vistazo aquí, aquí y aquí.

Espero que haya ayudado.

Answer 2

“Simplificar” en matemáticas es un término sobrecargado. A menudo significa cosas completamente diferentes en diferentes capítulos del mismo libro de texto.

Debido a esto, no estoy seguro de lo que su libro de texto quiere o lo que llama “método 2”, pero aquí hay una forma de simplificar esta fracción.

Primero, podemos deshacernos de esas molestas fracciones dentro de la fracción multiplicando tanto el numerador como el denominador por [math] (5r-1) [/ math].

Obtenemos:

[matemáticas] \ frac {\ frac {6} {5r-1} -6} {\ frac {6} {5r-1} +6} = \ frac {6 – 6 (5r-1)} {6 + 6 (5r-1)} [/ matemáticas]

A continuación, tenga en cuenta que todos los términos comparten un factor común [matemática] 6 [/ matemática], por lo que podemos dividir tanto el numerador como el denominador entre [matemática] 6 [/ matemática]:

[matemáticas] \ frac {6 – 6 (5r-1)} {6 + 6 (5r-1)} = \ frac {1- (5r-1)} {1+ (5r-1)} [/ matemáticas]

Ahora, si trabajamos entre paréntesis, obtenemos:

[matemáticas] \ frac {1- (5r-1)} {1+ (5r-1)} = \ frac {2-5r} {5r} [/ matemáticas]

Ahora, si queremos, podemos dividir esto en una diferencia de dos fracciones:

[matemáticas] \ frac {2-5r} {5r} = \ frac {2} {5r} – \ frac {5r} {5r} = \ frac {2} {5r} -1 [/ matemáticas]

Dependiendo de lo que su maestro quiera o lo que requiera el libro de texto, [matemáticas] \ frac {2-5r} {5r} [/ matemáticas] o [matemáticas] \ frac {2} {5r} -1 [/ matemáticas] es tan simple como viene.