Para responder, usaré un ejemplo de un diagrama completo de Bode (amplitud y fase) tomado de Crear diagramas de Bode (Crear diagramas de Bode) en Wolfram Mathematica (Wolfram Mathematica). Suponemos que en el eje horizontal está representada [matemática] \ log10 (\ omega), [/ matemática] la frecuencia angular en una escala logarítmica.
La forma general de una función [matemática] H (s) [/ matemática] cuya gráfica de Bode es algo similar a lo que se muestra arriba, es una fracción racional. Es decir, es un cociente de polinomios en s convenientemente expresados como productos de términos que resaltan las raíces
[matemáticas] H (s) = H_0 \ frac {\ prod_ {i = 1} ^ M (1-s / z_i)} {\ prod_ {i = 1} ^ N (1-s / p_i)} [/ matemáticas ]
- Cómo factorizar una ecuación binomial cuadrática
- ¿Cuáles son los diversos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?
- Cómo resolver un sistema de ecuaciones que contiene funciones trigonométricas complicadas (Necesita pasos / algoritmo, usando álgebra simbólica)
- Utilizando una empresa de revisión (es decir, trustpilot), ¿existe una ecuación para descubrir cuántas revisiones se necesitan para alcanzar el siguiente nivel de calificación?
- ¿Cuál es la ecuación conjunta de un par de líneas rectas que pasan por (2,3) y paralelas a los ejes de coordenadas?
[math] H (s) [/ math] tiene [math] M [/ math] ceros (raíces) en el numerador (los [math] z_i [/ math]) y [math] N [/ math] polos (raíces ) en el denominador (la [matemática] p_i [/ matemática]). La constante [matemática] H_0 [/ matemática] es el valor de [matemática] H (s) [/ matemática] cuando [matemática] s = j \ omega = 0 [/ matemática] (a menos que [matemática] H (s) [ / math] tiene polos en [math] s = 0 [/ math], y luego [math] H (0) = \ infty [/ math]).
Los polos y los ceros pueden ser reales o complejos; cuando algún polo o cero es complejo, entonces su conjugado también debe estar presente (de lo contrario [matemática] H (s) [/ matemática] tendría coeficientes complejos, lo que no sucede en situaciones comunes).
Para un sistema estable , que supondremos aquí, los polos se encuentran en el semiplano izquierdo (LHP) del plano [matemático] s [/ matemático], es decir, su parte real es negativa. Si las partes reales de los ceros también son negativas, se dice que el sistema es de fase mínima . Aquí asumiremos la fase mínima. Para resumir, los sistemas de fase mínima estable tienen todos los polos y ceros en el LHP.
Con estas suposiciones, podemos “recuperar” el sistema del diagrama de Bode de la magnitud, sin consultar la fase, como se explica a continuación.
Las gráficas de amplitud de Bode, [math] | H (j \ omega) | [/ math], son gráficas log-log: en el eje horizontal está [math] \ log10 (\ omega) [/ math] o [math ] \ log10 (f) [/ math], con [math] \ omega = 2 \ pi f [/ math]. En el eje vertical existe la amplitud en decibelios: recuerde que X en dB es [matemática] 20 \ log10 (X) [/ matemática], y así se muestra en el gráfico superior es [matemática] 20 \ log10 (| H (j \ omega) |) [/ matemáticas].
La idea clave para identificar la ubicación de los polos y ceros del diagrama de Bode es la siguiente: viajar en el eje [matemático] \ omega [/ matemático] de izquierda a derecha, cuando pasamos por el módulo de un polo real (recuerde el el polo es negativo en un sistema estable) la pendiente disminuye en 20 dB / década; Cuando pasamos por un cero, la pendiente aumenta en 20 dB / década. En un valor dado en el eje [math] \ omega [/ math], podemos decir cuánto es la diferencia entre el número de ceros y polos ubicados en valores más pequeños de [math] \ omega [/ math]: es el pendiente en dB / década dividida por 20. (Observe que la pendiente puede ser positiva o negativa).
Entonces, comencemos con el gráfico rojo en el diagrama de Bode de la imagen (el gráfico superior es la magnitud). Suponemos que (los módulos de) todos los polos y ceros de [matemática] H (s) [/ matemática] están en el dominio del eje horizontal que se muestra, pero los polos o ceros en el origen no lo son, porque el cero no es accesible en una parcela de troncos. Entonces, para valores pequeños de [math] \ omega [/ math], la pendiente es -20 dB / dec, lo que significa que hay un polo en [math] p_1 = j \ omega = 0 [/ math]. Luego, alrededor de [math] \ omega = 40 [/ math] (esta es una estimación, si tuviéramos una tabla con valores numéricos podríamos usar alguna forma de ajuste para obtener valores más precisos), la pendiente se convierte en -40 dB / dec . Y eso es todo. Esto significa que hay dos polos en [matemática] p_1 = 0 [/ matemática] y [matemática] p_2 = -40 [/ matemática], y la forma general de [matemática] H (s) [/ matemática] es
[matemáticas] H (s) = \ frac {H_0} {s (1 + s / 40)} [/ matemáticas]
Para obtener el valor de [math] H_0 [/ math], calculamos [math] | H (j \ omega) | [/ math] a un valor conveniente. En este caso usamos [math] \ omega = 1 [/ math]. Entonces [matemáticas] | H (j) | = \ frac {H_0} {| j || 1 + j / 40 |} \ aprox. H_0 [/ matemáticas]. Mirando en los gráficos vemos [matemática] | H (j) | = 40 [/ matemática] dB, lo que significa [matemática] H_0 = 100 [/ matemática]. Entonces, [matemáticas] H (s) [/ matemáticas] es
[matemáticas] H (s) = \ frac {100} {s (1 + s / 40)} [/ matemáticas]
En el gráfico azul, usando el mismo enfoque y hablando muy rápido, todavía tenemos un polo en [matemáticas] p_1 = 0 [/ matemáticas], un nuevo polo en [matemáticas] p_2 = -0.05 [/ matemáticas], un cero en [matemática] z_1 = -1 [/ matemática] y el polo “antiguo” en [matemática] p_3 [/ matemática] = – 40. Entonces la función correspondiente [matemática] H (s) [/ matemática] es
[matemáticas] H (s) = \ frac {H_0 (1 + s)} {s (1 + s / 0.05) (1 + s / 40)} [/ matemáticas]
(Este gráfico azul ciertamente resulta de la aplicación de un controlador de “retraso de fase” al sistema rojo; solo olvide este comentario si no tiene conocimiento sobre los sistemas de control). Dejamos aquí la carga de calcular [matemáticas] H_0 [/ matemáticas] para usted 🙂
Tenga en cuenta que siempre usamos polos y ceros negativos porque se asumió un sistema de fase mínima estable.
Cuando los sistemas no son de fase mínima, o cuando hay pares de polos o ceros complejos, la técnica se vuelve un poco más complicada (aunque en esencia sigue siendo el mismo procedimiento) y se debe tener en cuenta el diagrama de Bode de la fase (para sistemas de fase no mínima). Puede encontrar los detalles completos de la técnica en cualquier texto común sobre circuitos eléctricos, sistemas de control o sistemas dinámicos, por ejemplo (o busque en la red “identificación del sistema con diagramas de Bode”).