Cómo resolver la cuadrática [matemática] z ^ 2 + \ frac1z = 0 [/ matemática]

Answer 1

[matemáticas] z ^ 2 + \ frac {1} {z} = 0 [/ matemáticas]

Multiplica ambos lados por z

[matemáticas] z ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = (-1) ^ \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] z = -1, \ frac {1} {2} + \ frac {i \ sqrt {3}} {2}, \ frac {1} {2} – \ frac {i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Debido a que nuestro polinomio es de tercer orden, esperamos tres soluciones. Trazar las raíces del polinomio en un diagrama de Argand le mostrará la simetría involucrada en la búsqueda de todas las raíces cúbicas de -1.

-1 es la respuesta más obvia, pero existen otras dos soluciones complejas como un par conjugado. Encontrar las tres raíces cúbicas de -1 requerirá cortar el círculo en tercios y colocar un vector con la misma magnitud que -1 en los ángulos indicados (Pi / 3, Pi y 5Pi / 6).

Answer 2

[matemáticas] z ^ 2 + \ dfrac {1} {z} = 0 [/ matemáticas]

multiplicando ambos lados de la ecuación por [matemáticas] z [/ matemáticas] obtenemos

[matemáticas] z ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas] / Esta es una ecuación que tiene el grado más alto 3, entonces tendremos tres soluciones /

Factorizando la nueva ecuación que obtenemos

[matemáticas] (z + 1) (z ^ 2-z + 1) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [matemática] (z + 1) [/ matemática] o [matemática] (z ^ 2-z + 1) [/ matemática] o ambas serán iguales a cero

considerando [matemática] (z + 1) [/ matemática] [matemática] = 0 [/ matemática] obtenemos [matemática] z = -1 [/ matemática];

resolviendo [matemática] (z ^ 2-z + 1) = 0 [/ matemática] obtenemos [matemática] z = \ dfrac {1 ± \ sqrt {1 ^ 2−4⋅1⋅1}} {2} = \ dfrac {1 ± \ sqrt {-3}} {2} [/ math]

[matemática] z = [/ matemática] [matemática] \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {i \ sqrt {3}} {2} [/ matemática] o [matemática] \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

El conjunto de soluciones completo es [matemáticas] -1, \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {1} {2} – \ dfrac {i \ sqrt {3}} {2} [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] z ^ 2 + \ frac {1} {z} = 0 [/ matemáticas]

Se puede escribir como

[matemáticas] z ^ 3 + 1 = 0 [/ matemáticas]

o, [matemáticas] (z + 1) (z ^ 2 – z + 1) = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] z = -1 [/ matemáticas]

y resolviendo [matemáticas] (z ^ 2 – z + 1) = 0 [/ matemáticas]

obtenemos, [matemáticas] z = \ frac {1 + i \ sqrt3} {2} [/ matemáticas]

y [matemáticas] z = \ frac {1 – i \ sqrt3} {2} [/ matemáticas]

Answer 4

z2 + 1 / z = 0
Al tomar LCM obtendremos
(z3 + 1) / z = 0
El término en el numerador no puede ser igual a cero, entonces
Z no puede ser igual a cero,
Entonces, ahora z3 +1 = 0
z3 = -1
Al poner z = x + iy
Obtendremos
(x + iy) 3 = -1
Al resolver esto, obtendremos
X = -1
Y
Y = (1/2) + i * √3 / 2, (1/2) -i * √3 / 2
z = -1, (1/2) + i * √3 / 2, (1/2) -i * √3 / 2
Donde i es iota, que es un número complejo, entonces usualmente tomamos √ (número negativo) como la raíz cuadrada de la magnitud de ese número y lo multiplicamos por i (iota).
Cada número se puede escribir como
X + iy
Donde y es parte compleja yx es número real

1. yo
2. i * i = -1
3. i * i * i = -i
4. i * i * i * i = 1

Si x + iy = 0 entonces
X e y ambos serán iguales a cero simultáneamente

Answer 5

z ^ 2 + (1 / z) = 0

z ^ 2 = -1 / z

z ^ 3 = -1

Entonces, z es la raíz cúbica de -1, esta es la misma respuesta que la mayoría de los demás han dado, déjenme intentar explicar la parte de las raíces cúbicas.

Como está usando ‘z’, espero que esté familiarizado con el álgebra compleja.

Las enésimas raíces de la unidad se pueden calcular dividiendo el círculo unitario en el plano imaginario en n partes.

1 = cos (0) + i sen (0) = cis (0) | cos (x) + i sin (x) se puede escribir como cis (x)

1 = cis (0 + 2 * m * pi) = cis (2 * m * pi) | m = entero real

(1) ^ (1 / n) = cis (2 * m * pi) ^ (1 / n)

(1) ^ (1 / n) = cis (2 * m * pi / n)

donde m = 0,1,2,…, (n-1) [0,1,2 en este caso]

de manera similar para -1

-1 = cos (pi) + i sen (pi) = cis (pi)

(-1) ^ (1/3) = cis (pi) ^ (1/3)

(-1) ^ (1/3) = cis ((pi + 2 * m * pi) / 3), m = 0,1,2

entonces las raíces cúbicas de -1 son:

cis (pi / 3), cis (pi), cis (5 * pi / 3)

(1/2 + i √3 / 2), -1, (1/2 – i √3 / 2)

PD: esto no es lo mismo que las raíces cúbicas de la unidad (1), que son 1, (-1/2 + i √ 3/2), (-1/2 – i √3 / 2)

Answer 6

[matemáticas] z ^ 2 + \ frac {1} {z} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {z ^ 3 + 1} {z} = 0 \ implica z ^ 3 + 1 = 0 \ implica z ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = -1 [/ matemáticas]

Conjunto de soluciones: {-1}

Answer 7

[matemáticas] z ^ 2 + \ frac {1} {z} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 = – [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {1} {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 3 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] z = \ sqrt [3] {- 1} [/ matemáticas]

Answer 8

Primero, multiplique ambos lados por z. El resultado será entonces z ^ 3 + 1 = 0. Luego, resta 1 de ambos lados, y tendrás z ^ 3 = -1. Luego, toma la raíz cúbica de ambos lados. (La raíz cúbica de -1 es -1.) El resultado es z = -1.

Respuesta final: z = -1

¡Espero que esto ayude!

Answer 9

No es un cuadrático, un (simple) cúbico.

Mire la respuesta de Alex Hansen y complétela en un diagrama de Argand. Tenga en cuenta la simetría.

Answer 10

z ^ 2 + (1 / z) = 0

z ^ 3 + 1 = z * 0 = 0

z ^ 3 = -1

z ^ 3 = (-1) ^ 3

z = -1