Si resolver [matemática] ax ^ 2 + bx + c [/ matemática] para [matemática] x [/ matemática] te da la fórmula cuadrática, ¿cómo resuelves [matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [ / matemáticas] para [matemáticas] x [/ matemáticas]?

Answer 1

Comenzando con el cúbico general:

[matemáticas] \ displaystyle x ^ 3 + mx ^ 2 + nx + t = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Lo que se puede obtener dividiendo ambos lados entre [matemáticas] a [/ matemáticas] de [matemáticas] \ displaystyle ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas]. Realice la sustitución [math] x = \ dfrac {ym} 3 [/ math] para obtener [math] (1) [/ math] en su cubic deprimido . Llame a los coeficientes [matemática] q, r [/ matemática]. Entonces [math] (1) [/ math] ahora toma la forma:

[matemáticas] \ displaystyle y ^ 3 + qy + r = 0 \ tag2 [/ matemáticas]

Desde aquí, podemos hacer la sustitución [math] y = u + v [/ math] para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (u + v) ^ 3 + q (u + v) + r = 0 \ tag3 \\ & u ^ 3 + 3u ^ 2v + 3uv ^ 2 + v ^ 3 + qu + qv + r = 0 \ tag4 \\ & u ^ 3 + (u + v) (3uv + q) + v ^ 3 + r = 0 \ tag5 \ end {align *} [/ math]

Establecer [math] 3uv + q = 0 \ implica u = – \ dfrac q {3v} [/ math] y sustituir este valor nuevamente en [math] (5) [/ math] para obtener un valor cuadrático en [math] u ^ 3 [/ matemáticas].

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & – \ dfrac {q ^ 3} {27v ^ 3} + v ^ 3 + r = 0 \ tag6 \\ & v ^ 6 + rv ^ 3- \ dfrac {q ^ 3} {27} = 0 \ tag7 \\ & v ^ 3 = – \ dfrac r2 \ pm \ sqrt {\ dfrac {r ^ 2} 4+ \ dfrac {q ^ 3} {27}} \ tag8 \ end {alinear *} [/ matemáticas]

Los dos conjugados son soluciones para [math] v ^ 3, u ^ 3 [/ math] respectivamente, por lo que tomamos la raíz cúbica y los sumamos para obtener [math] x [/ math].

[matemáticas] \ displaystyle y = \ left \ {- \ dfrac r2 + \ sqrt {\ dfrac {r ^ 2} {4} + \ dfrac {q ^ 3} {27}} \ right \} ^ {\ frac 13} + \ left \ {- \ dfrac r2- \ sqrt {\ dfrac {r ^ 2} {4} + \ dfrac {q ^ 3} {27}} \ right \} ^ {\ frac 13} \ tag9 [/ math ]

Y recuerde, la solución completa sería [matemática] x = \ dfrac {ym} 3 [/ matemática] donde [matemática] y [/ matemática] es el valor que acabamos de encontrar, y [matemática] m [/ matemática] es el coeficiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Las otras dos soluciones se pueden encontrar por las raíces cúbicas de la unidad.

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NOTA: Este método se puede adaptar para resolver el cuarto general. Si quieres, puedo publicar la respuesta para eso también.

Answer 2

La respuesta de Josh Speckman es correcta, sin embargo, mi método favorito para resolver el cúbico es usar la sustitución de Vieta en lugar de la de Cardano en el último cúbico deprimido. En particular, sustituimos [math] \ displaystyle x = y – \ frac {b} {3a} [/ math] para convertir el cúbico en un cúbico de la forma [math] y ^ 3 + dy + e = 0 [/matemáticas]. Luego, sustituimos [math] \ displaystyle y = w – \ frac {d} {3w} [/ math] que nos deja con una ecuación sextica, que de hecho es una ecuación cuadrática en [math] w ^ 3 [/ math ] Luego podemos recuperar los valores de [math] w [/ math] y [math] y [/ math] aplicando la fórmula cuadrática dos veces.

Recordar las sustituciones y el método general suele ser más conveniente que recordar la fórmula cúbica en toda su gloria, ya que es muy larga y muy fácil de recordar erróneamente.

Answer 3

Josh Speckman tiene razón sobre la fórmula. Sin embargo, generalmente es mejor usar aproximaciones numéricas. Tendrá que aproximar las raíces cuadradas y las raíces cúbicas en la fórmula de todos modos (incluso si las soluciones son enteras) y cuando hay tres soluciones reales, siempre se necesitan números complejos en los pasos intermedios.

Answer 4

Larga historia. Debe reducir la ecuación cúbica a una que no contenga x ^ 2 y luego usar la fórmula de Cardano. Puedes encontrar todo esto en línea.

En la práctica, las personas generalmente descomponen el lado izquierdo usando algunos trucos o, en su defecto, usan un método numérico y encuentran raíces aproximadamente. Los métodos numéricos para eso es otra historia.

Answer 5

Primero, debes factorizar el exponente extra. Para hacer esto, divide la expresión en dos partes separadas, ax ^ 3 + bx ^ 2 y cx + d. Luego, factoriza x ^ 2 desde la primera mitad, dejando x (ax + b). Entonces, factorizas cx + d. Luego, simplemente multiplica y suma.

Digamos que tienes 3y ^ 3 + 9y ^ 2-y-3. Se separan en dos partes, 3y ^ 3 + 9y ^ 2 y -y-3. La primera parte se puede factorizar en 3y ^ 2 (y + 3). La segunda parte se puede factorizar en -1 (y + 3). Como puede ver, ambas partes tienen un factor común: y + 3. Puede factorizarlo más en y + 3 (3y ^ 2-1). Puede factorizarlo más haciendo (y + 3) (3y-1) (y + 1). Ahí tienes! Por supuesto, necesitará saber un poco de Álgebra 1 y cómo factorizar, pero es como usar la propiedad distributiva. Espero que esto haya ayudado! -Anónimo

Answer 6

¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado?
Lee la respuesta de Alon Amit.