¿Hay alguna ecuación matemática o un procedimiento matemático mediante el cual pueda definir un dibujo en perspectiva?

Answer 1

Mi respuesta inicial a esta pregunta fue …

Absolutamente, se llama Geometría proyectiva, ¡y originalmente se inspiró en problemas en el dibujo en perspectiva!

Ver: geometría proyectiva

Pero aparentemente el interrogador no encontró la respuesta anterior demasiado útil, así que aquí hay una respuesta más detallada:

Si encuentra que el artículo de Wikipedia sobre geometría proyectiva es un poco abstracto, quizás este enlace de Wikipedia, sobre proyección 3D, sea más útil: proyección 3D

¡Pero olvídate de las matrices! Es una cuestión simple de geometría cartesiana.

Imagine lo siguiente (o dibuje un diagrama a partir de la descripción si ayudará):

Deje que las coordenadas de la cámara sean (0,0,0) , y que la pantalla 2D (o fotografía) en la que se proyecta la escena 3D sea (xs, ys, d) en el sistema de coordenadas de la cámara. donde ‘s’ significa ‘pantalla’, y la pantalla es perpendicular al eje z y a una distancia d de (0,0,0) , y entre la cámara y todos los puntos en el espacio 3D que se proyectan eso.

Ahora tome un punto de interés en la escena 3D con coordenadas de cámara (xp, yp, zp) , donde la ‘p’ representa ‘punto’, y dibuje una línea recta desde ese punto hasta (0,0,0) ( la Cámara). La línea interceptará la pantalla en un punto (xs, ys, d) relativo a la cámara (o (xs, ys, 0) en ‘coordenadas de pantalla’). El valor de xs será menor que el de xp por un factor de escala lineal derivado de la relación de la distancia de la pantalla desde la cámara, d , y la coordenada z del punto, zp (un diagrama simple lo convencerá de esto), es decir:

xs = xp. (d / zp) .

Una comprobación de detección rápida puede ayudar a que esto sea obvio: teniendo en cuenta las condiciones extremas en d, si la pantalla coincide con la cámara, entonces d = 0 (o si el punto está muy lejos para que la relación d / zp se acerque a 0 ), y xs = 0 (o se acerca a él); y si la pantalla coincide con el punto (o si el punto se acerca a la pantalla muy de cerca), entonces d = zp (o se acerca) y xs = xp (o se acerca); considerando un caso intermedio, si la pantalla está a medio camino entre el punto y la cámara, entonces d / zp = 1/2 , y los valores de xs e ys serán exactamente la mitad de los de xp e yp , respectivamente.

Obviamente, por simetría rotacional sobre el eje z, lo mismo se aplica a las coordenadas y del punto y su imagen de pantalla:

ys = yp. (d / zp).

Por supuesto, al hablar de una cámara arriba, realmente deberíamos hablar de un ojo , porque es el ojo (de un pintor, por ejemplo) que siempre está ‘detrás’ de la pantalla 2D en la que se proyecta una escena 3D. La lente de una cámara, por otro lado, siempre está entre la escena 3D y la película, o CCD, sobre la cual se proyecta la pantalla 3D. En este último escenario, d sería realmente negativo en el sistema de coordenadas de la cámara. Pero esto está bien, porque captura con precisión el hecho de que la imagen 2D se invertirá con respecto a las coordenadas x e y de la cámara. (Y, de hecho, en el caso de una cámara estenopeica antigua [1] o una cámara oscura (una habitación oscura con un pequeño agujero en una ventana ciega a través de la cual entra la luz del día y se proyecta en la pared detrás) [2], La imagen formada se ve claramente invertida en los ejes X e Y. En este caso, podríamos escribir xs = xp. (- | d | / zp) para enfatizar la inversión, y también para yp .)

Supongo que si realmente quieres una ecuación matricial para todo esto, podemos escribir las coordenadas de la pantalla en términos de la cámara, u ojo, coordenadas como

(xs, ys, zs) = [d / zp, 0,0 | 0, d / zp, 0 | 0,0,0] (xp, yp, zp) = (xs. (D / zp), yp. (D / zp), 0)

donde espero que la notación de matriz improvisada sea obvia.

Por cierto, el esquema anterior también captura con precisión un escenario adicional, donde el ojo se reemplaza por una fuente de luz ‘puntual’, como un foco de luz (si fuera una fuente de luz grande y difusa, como una ventana, las mismas reglas no aplique, ya que el frente de onda de la luz sería más plano que esférico), y se coloca un objeto 3D entre la fuente de luz y la pantalla (entonces d> zp ). En este caso, el objeto 3D proyectará una sombra en la pantalla 2D, y las coordenadas de la pantalla de los puntos en la sombra se pueden calcular a partir de las coordenadas de los puntos en el objeto 3D (en relación ahora con la fuente de luz) exactamente por mismas fórmulas, pero esta vez dando xs> xp e ys> yp, porque d / zp> 1

Así que ahí lo tienes: un conjunto de fórmulas que describen tres escenarios diferentes (ojo, cámara y fuente de luz); relación calidad-precio, espero que esté de acuerdo!

También espero haberle proporcionado una receta simple para resolver los detalles de su problema. Te lo dejaré como ejercicio: o)

[1] Cámara estenopeica

[2] Cámara oscura

Answer 2

Las letras a, b, c y d que tienes solo tienen 2 coordenadas. La z falta. Déjame darle sabor. Si tengo 4 puntos (en el mismo plano, esta condición es extremadamente importante). Siga estos pasos para obtener los otros 4 vértices.

1. Encuentra el avión normal. Puede obtener esto usando 3 puntos. Simplemente obtenga los 2 vectores y use estos 2 para calcular el producto cruzado. El producto cruzado es un vector que es perpendicular al plano.
2. Después de obtener el producto cruzado, encuentre el vector unitario. Por favor, google esto ya que no sé cómo escribir fórmulas en quora.
3. Multiplica la altura que quieras con este vector. En su caso, simplemente es 0.61 (Ai + Bj + Ck).
4. Con los 4 puntos a, b, c y d. Haz una suma vectorial. Obtendrá los otros 4 puntos que desee.

En su ejemplo, la coordenada z es 0. Si sigue los pasos que le di, el producto cruzado será 0,0,1 (bastante obvio incluso sin los cálculos). La distancia que quiero mover estos 4 puntos es 0.61. Entonces la multiplicación me dará 0,0,0.61

Ahora agrego esto a los 4 puntos. Por lo tanto, los 4 puntos después de moverse simplemente tendrán un componente z adicional.

¡Espero que esto ayude!