Pido disculpas por adelantado si sobreexplico o me equivoco. Soy relativamente nuevo en matemáticas y no conozco tu nivel de habilidad, así que voy a repasar todo lo que considero relevante.
Primero necesitamos una buena definición para una parábola. Lo he visto definido como “el conjunto de todos los puntos que son equidistantes de un punto dado y una línea dada”.
La distancia más corta entre una línea y un punto es la longitud de una línea perpendicular que conecta la línea y el punto. Puede verificar esto fácilmente mediante el teorema de Pitágoras. Puede representar la distancia entre la línea dada y un punto como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con un componente que es paralelo a la línea y un componente que es perpendicular a la línea. La longitud de esta hipotenusa será a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, donde a ^ 2 es el componente paralelo y b ^ 2 es el componente perpendicular. Como ambos son siempre cero o positivos, la longitud de c es más corta cuando a = 0, y solo hay un componente perpendicular.
Por simplicidad, podemos suponer que la línea dada en la definición de una parábola es horizontal, y de la forma y = c, donde c es algo constante. Técnicamente hablando, la línea puede estar orientada de muchas maneras. Sin embargo, si la línea no es horizontal, podemos rotar los ejes para hacerlo horizontal. Esa es una operación algo complicada (los detalles están aquí: http://math.sci.ccny.cuny.edu/do …), pero para estos propósitos, solo saber que se puede hacer es suficiente.
Sabiendo esto, podemos determinar fácilmente un punto de la parábola. Cuando la coordenada x de la parábola está directamente debajo del punto dado al que se hace referencia en la definición, sabemos que la posición vertical está a medio camino entre la coordenada y de la línea dada y el punto dado. En aras de la simplicidad, definiremos el punto en la parábola en el que esta condición se cumple como (0, 0). En realidad, este punto puede colocarse en cualquier lugar del gráfico, pero si este punto no está en (0,0) podemos traducir los ejes para colocarlo en (0, 0).
Luego podemos asignar nombres al punto dado y la línea dada en la definición de la parábola. Llamaremos a la línea y = – c, y al punto (0, c). Esto satisface la condición de que el punto (0,0) sea equidistante tanto de la línea como del punto. Usando esto, podemos crear una ecuación para la parábola.
Debido al hecho de que la distancia más corta entre un punto y una línea es la longitud de una línea perpendicular, sabemos que la distancia entre un punto en una parábola y la línea y = -c será y + c. También sabemos que la distancia entre un punto en la parábola y el punto dado (0, c) será la hipotenusa de un triángulo rectángulo:
[matemáticas] \ sqrt {(x – 0) ^ {2} + (y – c) ^ {2}} [/ matemáticas]
Como resultado de esto, y el hecho de que los puntos en la parábola deben ser equidistantes de la línea y el punto dado, tenemos la ecuación:
[matemáticas] y + c = \ sqrt {(x ^ {2} + (y -c) ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] (y + c) ^ 2 = x ^ {2} + (y – c) ^ {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] y ^ {2} + 2yc + c ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} – 2yc + c ^ {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] 4yc = x ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ frac {x ^ {2}} {4c} [/ matemáticas]
Eso establece que todas las parábolas se describen mediante ecuaciones cuadráticas y que algunas ecuaciones cuadráticas describen todas las parábolas, pero no necesariamente que todas las ecuaciones cuadráticas describen parábolas. Afortunadamente, el otro respondedor lo ha cubierto bastante bien.
Como explica Pratyush Bisht, la ecuación cuadrática y = ax ^ 2 + bx + c siempre se puede escribir en la forma y = (x + b / 2a) ^ 2 + c / a – (b / 2a) ^ 2. Y, como explica Bisht, si elegimos la línea en la definición de la parábola (a menudo llamada discriminante) para que sea igual a b ^ 2 -4ac, podemos crear una parábola a partir de esta ecuación. Por lo tanto, todas las ecuaciones cuadráticas son parábolas.