Reclamación : las raíces del polinomio
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\ P_n (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ k {x \ choose {k}} \ end {align} \ tag * {}[/matemáticas]
son todos los números [matemática] 1,2, …, n [/ matemática].
Esto se prueba fácilmente por inducción.
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Caso base : Comencemos mirando [math] P_ {1} (x) [/ math]:
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\\ sum_ {k = 0} ^ {1} (- 1) ^ k {x \ choose {k}} = 1-x \ end {align} \ tag * { }[/matemáticas]
que solo tiene [math] x = 1 [/ math] como solución.
Paso inductivo : queremos demostrar que si
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\ P_ {n} (x) = \ sum_ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ k {x \ choose {k}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
tiene [matemáticas] x = 1,2, …, n [/ matemáticas] para las raíces, entonces
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\ P_ {n + 1} = \ sum_ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ k {x \ choose {k}} \ end {align } \ tag * {} [/ math]
tiene soluciones para [matemáticas] x = 1,2, …, n + 1 [/ matemáticas].
Ahora, mostrar que [matemática] 1,2, …, n [/ matemática] son raíces de [matemática] P_ {n + 1} (x) [/ matemática] es fácil: simplemente reescríbalo como
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\\ underbrace {\ sum_ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ k {x \ choose {k}}} _ {T (x)} + \ underbrace {(- 1) ^ {n + 1} \ frac {x (x-1) (x-2) \ cdots {(xn)}} {(n + 1)!}} _ {R (x)} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
Según nuestra hipótesis, [matemáticas] 1,2, …, n [/ matemáticas] son raíces de [matemáticas] T (x) [/ matemáticas], pero también son raíces de [matemáticas] R (x) [/ matemáticas] (ya que cada uno de ellos es una raíz de su numerador).
Lo que queremos mostrar ahora es que [math] (n + 1) [/ math] también es una raíz de [math] P_ {n + 1} (x) [/ math]. Solo conéctelo:
[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \\ P_ {n + 1} (n + 1) = \ sum_ {k = 0} ^ {n + 1} (- 1) ^ k {n + 1 \ choose { k}} \ end {align} \ tag * {} [/ math]
que puede reconocer que es una expansión binomial de [matemáticas] (1-1) ^ {n + 1} = 0 [/ matemáticas].
Por lo tanto, [matemática] 1,2,…, n + 1 [/ matemática] son todas raíces y, siendo [matemática] P_ {n + 1} [/ matemática] a [matemática] (n + 1) [/ matemática] polinomio de sexto grado, no puede tener otro.