[matemáticas] x – \ dfrac {2} {\ sqrt {x}} = 5 [/ matemáticas]
Sustituyendo [math] \ sqrt {x} [/ math] como [math] u [/ math], obtenemos:
[matemáticas] u ^ 2 – \ dfrac {2} {u} = 5 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow u ^ 3 – 2 = 5u [/ matemática]
- ¿Hay alguna ecuación en la que [matemáticas] a + b \ neq b + a [/ matemáticas]?
- Cómo resolver la ecuación diferencial [matemáticas] y-xp = x + yp [/ matemáticas], donde [matemáticas] p = dy / dx [/ matemáticas]
- ¿Por qué la mayoría de las ecuaciones usan valores al cuadrado?
- Cómo demostrar que la gráfica de una expresión cuadrática es parabólica
- ¿Cuáles son las raíces de la ecuación [matemáticas] 1- \ frac {x} {1} + \ frac {x (x-1)} {2!}… + (- 1) ^ n \ frac {x (x- 1) … (x-n + 1)} {n!} = 0 [/ matemáticas]?
[matemática] \ Rightarrow u ^ 3 – 5u – 2 = 0 [/ matemática]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas]]
Ahora, necesitamos encontrar al menos una solución (preferiblemente real) de la ecuación anterior (llamémosla [matemática] \ alpha [/ matemática] por ahora), de modo que [matemática] u ^ 3 – 5u – 2 [/ matemática ] se puede dividir entre [math] u – \ alpha [/ math] para obtener una cuadrática fácil de resolver.
Lo que me molestó sin fin sobre las otras respuestas por las que pasé fue el hecho de que los carteles respectivos consideraron fácilmente [math] \ alpha = -2 [/ math] como una solución (no es que sea incorrecta, pero aún así) sin ofrecer ninguna idea de cómo llegar allí. Trataré de llenar ese vacío (vea edit [math] 01 [/ math] para más información).
Ahora, para resolver una ecuación cúbica general [matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemática], tenemos algunos métodos para elegir, como el método de Cardano, sustitución de Vieta, método de Lagrange, método trigonométrico et al.
Aquí, utilizaremos el método de Lagrange para llegar a un valor real para [math] u [/ math] (y posteriormente [math] x [/ math]). Veamos el proceso paso a paso.
Comparando la ecuación que tenemos ([matemática] u ^ 3 – 5u – 2 = 0 [/ matemática]) con la ecuación cúbica general [matemática] au ^ 3 + bu ^ 2 + cu + d = 0 [/ matemática], obtenemos:
[matemática] a = 1 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática], [matemática] c = -5 [/ matemática] y [matemática] d = -2 [/ matemática]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]
Ahora, factorizar la ecuación cúbica general da como resultado:
[matemáticas] au ^ 3 + bu ^ 2 + cu + d = a (u – u_1) (u – u_2) (u – u_3) [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]]
Ahora,
[matemáticas] a (u – u_1) (u – u_2) (u – u_3) = au ^ 3 – a (u_1 + u_2 + u_3) u ^ 2 + a (u_1u_2 + u_1u_3 + u_2u_3) u – au_1u_2u_3 [/ math ]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]
Comparando el RHS (lado derecho) de [math] {\ color {red} 3} [/ math] con el LHS (lado izquierdo) de [math] {\ color {red} 2} [/ math] Nos da:
[matemáticas] b = -a (u_1 + u_2 + u_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] c = a (u_1u_2 + u_1u_3 + u_2u_3) [/ matemáticas]
[matemáticas] d = -au_1u_2u_3 [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]
Todo lo que se necesita hacer ahora es resolver [matemática] u_1 [/ matemática], [matemática] u_2 [/ matemática] y [matemática] u_3 [/ matemática], que todavía estamos muy lejos de lograr. Hagamos otra sustitución:
Considere un nuevo conjunto de dos variables:
[matemáticas] v_1 = a (u_1 + u_2 \ omega + u_3 \ omega ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] v_2 = a (u_1 + u_2 \ omega ^ 2 + u_3 \ omega) [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 5} [/ matemáticas]]
, donde [math] \ omega = e ^ {i \ frac {2 \ pi} {3}} [/ math] es una raíz cúbica de la unidad.
Configurar estas dos variables ayuda a satisfacer las siguientes dos ecuaciones:
[matemáticas] v_1 ^ 3 + v_2 ^ 3 = -2b ^ 3 + 9abc – 27a ^ 2d [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 6} [/ matemáticas]]
[matemática] v_1v_2 = b ^ 2 – 3ac [/ matemática] [[matemática] {\ color {rojo} 7} [/ matemática]]
Ambas identidades anteriores se pueden verificar fácilmente mediante la sustitución de valores de [math] {\ color {red} 5} [/ math] y [math] {\ color {red} 4} [/ math].
Además, después de determinar [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 [/ matemáticas], podemos obtener los valores de [matemáticas] u_1 [/ matemáticas], [matemáticas] u_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] u_3 [/ math] simplemente como:
[matemáticas] u_1 = \ dfrac {-b + v_1 + v_2} {3a} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_2 = \ dfrac {-b + v_1 \ omega ^ 2 + v_2 \ omega} {3a} [/ matemáticas]
[matemáticas] u_3 = \ dfrac {-b + v_1 \ omega + v_2 \ omega ^ 2} {3a} [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} {7.5}} [/ matemáticas]]
Vamos a obtener los valores de [math] v_1 [/ math] y [math] v_2 [/ math], entonces.
Ahora, como hicimos al factorizar [matemática] au ^ 3 + bu ^ 2 + cu + d = 0 [/ matemática] en [matemática] a (u – u_1) (u – u_2) (u – u_3) [/ matemática ], podemos decir que [matemáticas] v_1 ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 ^ 3 [/ matemáticas] son las dos soluciones a la ecuación cúbica:
[matemáticas] (v – v_1 ^ 3) (v – v_2 ^ 3) = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow v ^ 2 – (-2b ^ 3 + 9abc – 27a ^ 2d) v + (b ^ 2 – 3ac) ^ 3 = 0 [/ matemática]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 8} [/ matemáticas]; expandiendo y haciendo sustituciones de [math] {\ color {red} 6} [/ math] y [math] {\ color {red} 7} [/ math]]
[math] {\ color {red} 8} [/ math] puede resolverse para [math] v [/ math] para obtener los valores de [math] v_1 ^ 3 [/ math] y [math] v_2 ^ 3 [/ math], cuyas raíces cúbicas pueden calcularse para obtener posteriormente [math] u_1 [/ math], [math] u_2 [/ math] y [math] u_3 [/ math].
Ahora, sustituyendo los valores de [math] {\ color {red} 1} [/ math] en [math] {\ color {red} 8} [/ math], obtenemos:
[matemáticas] v ^ 2 – (0 + 0 – 27 \ cdot 1 ^ 2 \ cdot (-2)) v + (0 – 3 \ cdot 1 \ cdot (-5)) ^ 3 = 0 [/ math]
[matemática] \ Rightarrow v ^ 2 – 54v + 3375 = 0 [/ matemática]
Usando la fórmula cuadrática, podemos obtener los dos valores de [math] v [/ math] como:
[matemáticas] v = \ dfrac {- (- 54) \ pm \ sqrt {(- 54) ^ 2 – 4 \ cdot 1 \ cdot 3375}} {2 \ cdot 1} [/ math]
O [matemáticas] v = \ dfrac {54 \ pm i \ sqrt {10584}} {2} [/ matemáticas]
O [matemáticas] v = 27 \ pm i21 \ sqrt {6} [/ matemáticas]
En otras palabras, [matemáticas] v_1 ^ 3 = 27 + i21 \ sqrt {6} [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 ^ 3 = 27 – i21 \ sqrt {6} [/ matemáticas] [[matemáticas] {\ color {rojo} 9} [/ matemáticas]].
Hay tres valores de [math] v_1 [/ math] que se pueden obtener después de sacar la raíz cúbica de [math] 27 + i21 \ sqrt {6} [/ math]. A ver cómo.
[matemáticas] v_1 ^ 3 = 27 + i21 \ sqrt {6} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {(27) ^ 2 + (21 \ sqrt {6}) ^ 2} \ cdot e ^ {itan ^ {-1} (\ frac {21 \ sqrt {6}} {27}) }[/matemáticas]
[matemáticas] = 15 \ sqrt {15} \ cdot e ^ {itan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}})} [/ math]
Tomando la raíz cúbica en ambos lados,
[matemáticas] v_1 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {i \ frac {1} {3} tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}}) } = v_ {1.1} [/ matemáticas]
, que es el valor principal, y los otros dos son:
[matemáticas] v_1 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {\ frac {i} {3} (tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}}) + 2 \ pi)} = v_ {1.2} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] v_1 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {\ frac {i} {3} (tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}}) + 4 \ pi)} = v_ {1.3} [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} {10}} [/ matemáticas]]
Hemos designado cada uno de los tres valores mediante subíndices decimales, solo para uso futuro y para facilitar la comprensión.
Del mismo modo, los tres valores de [math] v_2 [/ math] también se pueden encontrar como:
[matemáticas] v_2 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {\ frac {-i} {3} tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}}) } = v_ {2.1} [/ math] (principal),
[matemáticas] v_2 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {\ frac {i} {3} (- tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}} ) + 2 \ pi)} = v_ {2.2} [/ math] y
[matemáticas] v_2 = \ sqrt {15} \ cdot e ^ {\ frac {i} {3} (- tan ^ {-1} (\ frac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}} ) + 4 \ pi)} = v_ {2.3} [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} {11}} [/ matemáticas]]
Conmigo hasta ahora? Bueno.
Hay, por lo tanto, [matemáticas] 9 [/ matemáticas] ([matemáticas] 3 \ cdot 3 [/ matemáticas]) total de combinaciones posibles de los valores de [matemáticas] v_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] v_2 [/ matemáticas] , y si recuerda correctamente de [math] {\ color {red} 7} [/ math], necesitamos elegir solo aquellos valores de [math] v_1 [/ math] y [math] v_2 [/ math] cuyo producto es igual a [matemáticas] b ^ 2 – 3ac = 0 – 3 \ cdot 1 \ cdot (-5) = 15 [/ matemáticas].
Lo que haremos ahora es tomar cada una de estas combinaciones [matemáticas] 9 [/ matemáticas] y verificar su valor del producto [matemáticas] v_1v_2 [/ matemáticas].
[matemáticas] v_ {1.1} v_ {2.1} = 15 [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.1} v_ {2.2} = -15 \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.1} v_ {2.3} = -15 \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.2} v_ {2.1} = 15 \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.2} v_ {2.2} = -15 \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.2} v_ {2.3} = 15 [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.3} v_ {2.1} = 15 \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.3} v_ {2.2} = 15 [/ matemáticas]
[matemáticas] v_ {1.3} v_ {2.3} = 15 \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, como podemos ver claramente, [matemáticas] (v_ {1.1}, v_ {2.1}) [/ matemáticas], [matemáticas] (v_ {1.2}, v_ {2.3}) [/ matemáticas] y [matemáticas] ( v_ {1.3}, v_ {2.2}) [/ math] son los pares que estábamos buscando.
Vayamos a nuestro paso anti penúltimo.
Consideremos el par ordenado [math] (v_ {1.1}, v_ {2.1}) [/ math] para intentar obtener el valor de [math] u_1 [/ math], [math] u_2 [/ math] y [math ] u_3 [/ math] de [math] {\ color {red} {7.5}} [/ math], [math] {\ color {red} {10}} [/ math] y [math] {\ color { rojo} {11}} [/ math].
Y también, en aras de la simplicidad, consideremos también [matemáticas] \ dfrac {1} {3} tan ^ {-1} (\ dfrac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt {3}}) [ / math] como [math] \ theta [/ math] [[math] {\ color {red} {12}} [/ math]].
[matemáticas] u_1 = \ dfrac {-0 + v_ {1.1} + v_ {2.1}} {3 \ cdot 1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {\ sqrt {15} e ^ {i \ theta} + \ sqrt {15} e ^ {-i \ theta}} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ dfrac {5} {3}} (e ^ {i \ theta} + e ^ {-i \ theta}) [/ matemáticas]
[[matemáticas] {\ color {rojo} {13}} [/ matemáticas]]
Ahora, a partir de la identidad que involucra el número complejo [matemáticas] z = re ^ {i \ theta} [/ matemáticas], sabemos que:
[matemáticas] Re (z) = \ dfrac {z + \ bar {z}} {2} [/ matemáticas]
, donde [math] \ bar {z} [/ math] es el conjugado complejo de [math] z [/ math].
Como claramente [math] e ^ {-i \ theta} [/ math] es el complejo conjugado de [math] e ^ {i \ theta} [/ math],
[matemáticas] Re (z) = \ dfrac {e ^ {i \ theta} + e ^ {-i \ theta}} {2} [/ matemáticas]
O [matemáticas] e ^ {i \ theta} + e ^ {-i \ theta} = 2cos (\ theta) [/ matemáticas]
[porque [matemáticas] e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + isin (\ theta) [/ math]]
Al volver a poner este valor en [matemáticas] {\ color {rojo} {13}} [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] u_1 = \ sqrt {\ dfrac {5} {3}} \ cdot 2cos (\ theta) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {\ dfrac {5} {3}} \ cdot 2cos (\ dfrac {1} {3} tan ^ {-1} (\ dfrac {7 \ sqrt {2}} {3 \ sqrt { 3}})) [/ matemáticas]
[de [matemáticas] {\ color {rojo} {12}} [/ matemáticas]]
[matemáticas] = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas] (desde aquí)
Ahora, para obtener el valor de [math] u_2 [/ math] y [math] u_3 [/ math] de manera similar, obtenemos:
[matemáticas] u_1 = 1 + \ sqrt {2} [/ matemáticas],
[matemáticas] u_2 = -2 [/ matemáticas] (desde aquí) y
[matemáticas] u_3 = 1 – \ sqrt {2} [/ matemáticas]
¡Y casi hemos terminado!
Como [math] u_2 = -2 [/ math], [math] (u + 2) [/ math] es un factor del polinomio cúbico [math] u ^ 3 – 5u – 2 = 0 [/ math] [from [matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas]].
Al dividir [matemáticas] {\ color {rojo} 0} [/ matemáticas] entre [matemáticas] u + 2 [/ matemáticas], obtenemos:
[matemáticas] \ dfrac {u ^ 3 – 5u – 2} {u + 2} = u ^ 2 – 2u – 1 [/ matemáticas]
Por lo tanto, [matemáticas] u ^ 3 – 5u – 2 = 0 [/ matemáticas]
[matemática] \ Rightarrow (u + 2) (u ^ 2 – 2u – 1) = 0 [/ matemática]
O [matemáticas] u ^ 2 – 2u = 1 [/ matemáticas]
O [matemáticas] x – 2 \ sqrt {x} = 1 [/ matemáticas]
(de [math] {\ color {red} 0} [/ math])
QEF
Editar [matemáticas] 01 [/ matemáticas]:
Desde que publiqué esta respuesta, soy un poco más sabio.
¿Cómo preguntas? Bueno, recientemente me encontré con este sorprendente teorema conocido como el teorema de la raíz racional, que ilustra muy sucintamente eso para un polinomio general de grado n:
[matemáticas] p (x) = a_nx ^ n + a_ {n – 1} x ^ {n – 1} + \ cdots a_0 = 0 [/ matemáticas]
, si todos los coeficientes involucrados son integrales ([matemáticas] a_i | a_i \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas]), entonces, siempre que [matemáticas] a_n \ neq 0 \ cuña a_0 \ neq 0 [/ matemáticas] cada cero racional de [matemática] p (x) [/ matemática] tiene la forma [matemática] \ dfrac {p} {q} [/ matemática], donde [matemática] p | a_0 \ wedge p \ in \ mathbb {Z} [/ math] y [math] q | a_n \ wedge q \ in \ mathbb {Z} [/ math]. Y la prueba se puede encontrar aquí.
Teniendo esto en cuenta, procedamos a encontrar la raíz racional de [matemáticas] p (u) = u ^ 3 – 5u – 2 = 0 [/ matemáticas].
Según el teorema, la raíz (s) racional de [math] p (u) [/ math], si existe, debería ser cualquiera de [math] \ pm \ dfrac {2} {1} [/ matemática] o [matemática] \ pm \ dfrac {1} {1} [/ matemática], que después de sustituir en [matemática] p (u) [/ matemática], se puede encontrar fácilmente como [matemática] -2 [ /matemáticas].
Se puede aplicar un enfoque similar al método anterior para descomponer [matemática] p (u) [/ matemática] como [matemática] (u + 2) \ cdot (u ^ 2 – 2u – 1) [/ matemática], que eventualmente conducirá a:
[matemáticas] x – 2 \ sqrt {x} = 1 [/ matemáticas]
y una solución mucho más corta. ¡Oh bien!
Echa un vistazo aquí, aquí y aquí para más información.
Espero que haya ayudado.