Cómo resolver la ecuación diferencial [matemáticas] y-xp = x + yp [/ matemáticas], donde [matemáticas] p = dy / dx [/ matemáticas]

Answer 1

Para resolver este tipo de ecuaciones, la mejor manera de comenzar es reorganizar todos los términos similares en el mismo lado. Por lo tanto,

[matemáticas] yx = y * p + x * p [/ matemáticas]

[matemáticas] yx = p (y + x) [/ matemáticas]

[matemáticas] p = (yx) / (y + x) [/ matemáticas]

Ahora el RHS se puede resolver en una función [matemática] f (y / x). [/ math] Estamos haciendo esto porque esto nos facilitará la resolución de la ecuación.

Por lo tanto, [matemáticas] p = (y / x – 1) / (y / x + 1) [/ matemáticas] – (1)

Ahora, dejemos que [math] y / x = m, [/ math] por lo tanto,

[matemática] y = m * x [/ matemática] implica [matemática] dy / dx = m + (dm / dx) * x. [/ matemática]

es decir, [matemáticas] p = m + (dm / dx) * x [/ matemáticas] – (2)

Sustituyendo (2) en (1), obtenemos

[matemáticas] m + (dm / dx) * x = (m-1) / (m + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (dm / dx) * x = (m-1) / (m + 1) – m [/ matemáticas]

[matemáticas] (dm / dx) * x = – (m ^ 2 + 1) / (m + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] ((m + 1) * dm) / (m ^ 2 + 1) = -dx / x [/ matemáticas]

Integrando ambos lados, obtendremos

[matemáticas] 1/2 * log (m ^ 2 + 1) + tan ^ -1 (m) = -log (x) + log (c) [/ matemáticas]

Answer 2

y-xp = x + yp
yx = p (y + x)
p = (yx) / (y + x)
dy / dx = (yx) / (y + x)
y = vx
v + xdv / dx = v-1/1 + v
y (1 + v) / (v ^ 2 + 1) dv = -dx / x
tan ^ -1v + 1/2 log (v ^ 2 + 1) = log1 / x + c
tan ^ -1 (y / x) +1/2 log (y ^ 2 / x ^ 2 + 1) = log 1 / x + C

Obtenga métodos sencillos para resolver ecuaciones diferenciales

Answer 3

Simplemente siga los pasos anteriores …

Es una ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden …

Answer 4

Dado que…

[matemáticas] y-xp = x + yp, p = \ dfrac {dy} {dx} [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow (x + y) \ dfrac {dy} {dx} = yx [/ math]

[math] \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} = \ dfrac {yx} {y + x} [/ math]

Para resolver esta ecuación, colocamos [math] y = vx \ Rightarrow \ dfrac {dy} {dx} = v + x \ dfrac {dv} {dx} [/ math]

Entonces la ecuación anterior cambia a …

[matemáticas] v + x \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {vx-x} {vx + x} [/ matemáticas]

[matemática] \ Rightarrow x \ dfrac {dv} {dx} = \ dfrac {v-1-v ^ 2-v} {v + 1} [/ math]

[math] \ Rightarrow – \ int \ dfrac {(v + 1) dv} {v ^ 2 + 1} = \ int \ dfrac {dx} {x} + C [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {1} {2} \ int \ dfrac {2vdv} {v ^ 2 + 1} + \ int \ dfrac {dv} {v ^ 2 + 1} = – \ int \ dfrac {dx} { x} + C [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ dfrac {1} {2} \ ln (v ^ 2 + 1) + \ arctan (v) = – \ ln (x) + C [/ math]

[matemática] \ Rightarrow \ dfrac {1} {2} \ ln (x ^ 2 + y ^ 2) – \ ln (x) + \ arctan (\ dfrac {y} {x}) = – \ ln (x) + C [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ cdot e ^ {\ arctan (\ dfrac {y} {x})} = C [/ math]

Donde ‘C’ son constantes arbitrarias.