Cómo combinar la idea intuitiva para resolver ecuaciones lineales algebraica y geométricamente (espacio vectorial) juntas

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Hay una serie de algoritmos de resolución lineal que utilizan la intuición geométrica para realizar álgebra.

Un solucionador directo que hace esto se conoce como factorización QR.

En la factorización QR, esencialmente está realizando el proceso de Gram-Schmidt en las columnas de la matriz, es decir, tratando de llegar a una colección ortogonal de vectores con el mismo intervalo.

Considere un ejemplo de sistema lineal

[math] \ mathbb A \ mathbf x = \ mathbf b [/ math]

tal que

[math] \ mathbb A = [\ mathbf a_1, \ mathbf a_2, \ cdots, \ mathbf a_n] [/ math]

Realizamos Grahm Schmidt en las columnas de A y producimos una matriz

[math] \ mathbb Q = [\ mathbf q_1, \ mathbf q_2, \ cdots, \ mathbf q_n] [/ math]

Aquí q_i vector corresponde a realizar Grahm schmidt en los vectores a_1 a a_ {i-1}.

Definimos una matriz R para que

[math] \ mathbb R = [r_ {ij}] [/ math]

y las columnas de R codificarán los coeficientes de los vectores a_i en base a Q. Debido a la naturaleza del algoritmo de Grahm schmidt, esta matriz R será triangular superior

[math] \ mathbf a_k = \ sum_ {i = 1} {k} r_ {i, k} \ mathbf q_i [/ ​​math]

Esto entonces tenemos la relación

[math] \ mathbb A = \ mathbb Q \ mathbb R [/ math]

Para resolver el sistema lineal, recordamos que una matriz ortonormal (como Q) tiene inversa dada por su transposición para que podamos resolver el problema equivalente

[math] \ mathbb A \ mathbf x = \ mathbf b \ iff \ mathbb R \ mathbf x = \ mathbb Q ^ \ star \ mathbf b [/ math]

Sin embargo, como la matriz R es triangular superior, ahora podemos resolver el problema con la sustitución hacia atrás.

También hay varios solucionadores iterativos que usan propiedades geométricas para producir soluciones, llamados métodos de subespacio de Krylov. Son un poco más complicados. Eche un vistazo al método de gradiente conjugado o al método residual mínimo generalizado.