Cómo factorizar una ecuación binomial cuadrática

Las cuadráticas son de la forma [math] ax ^ {2} + bx + c [/ math] por lo que básicamente hay dos tipos de binomios cuadráticos.

El primero es de la forma [math] ax ^ {2} + bx [/ math].

Las cuadráticas de esta forma siempre se pueden factorizar en [matemáticas] x (ax + b) [/ matemáticas] y se pueden eliminar factores adicionales si a y b comparten factores comunes. Ex:

[matemáticas] 3x ^ {2} + 9x = 3x (x + 3) [/ matemáticas]

La segunda forma es [math] ax ^ {2} + c [/ math]. Para factorizar esto, utiliza el “patrón de diferencia de cuadrados: [matemática] x ^ {2} -y ^ {2} = (x + y) (xy) [/ matemática]

Las cuadráticas de esta forma se pueden factorizar en [matemáticas] (\ sqrt {a} x + \ sqrt {-c}) (\ sqrt {a} x – \ sqrt {-c}) [/ matemáticas] Si c es positivo, Esto dará como resultado factores complejos, que pueden ser útiles o no en su situación. Una vez más, si ayc tienen un factor común, también querrás eliminarlo. Ex:

[matemáticas] 12x ^ {2} – 27 = 3 (4x ^ {2} -9) = 3 (2x + 3) (2x-3) [/ matemáticas]

Su ejemplo saldrá realmente feo si intenta factorizarlo:

[matemáticas] 2x ^ {2} + 3 = (x \ sqrt {2} + i \ sqrt {3}) (x \ sqrt {2} – i \ sqrt {3}) [/ matemáticas]

Si tiene alguna pregunta, no dude en contactarme en los comentarios.

[matemáticas] 2x ^ 2 + 3 [/ matemáticas]

Usamos la expansión binomial habitual,

[matemáticas] (a + ib) (a-ib) [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Se sabe que, [matemáticas] 2x ^ 2 = a ^ 2, a = \ sqrt {2} x [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = 3, b = \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Entonces, tenemos [matemáticas] (\ sqrt {2} x- \ sqrt {3}) (\ sqrt {2} x + \ sqrt {3} [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Puede factorizar un binomio (cuadrático o no) si

a) hay un factor común que puede sacar

es decir, 3x ^ 2 + 9 = 3 (x ^ 2 + 3)

b) el binomio es la diferencia de dos cuadrados, en cuyo caso (a ^ 2-b ^ 2) = (a + b) (ab)

Supongamos que pongo esto en una configuración más simple donde solo están involucrados los números. Por ejemplo, le doy los dos números 21 y 35 y le pregunto, ¿cuál es el factor común más grande ? Dirías, 7. Entonces podría escribir, 21 + 35 = 7 (3 + 5).

El principio es el mismo para factorizar binomios cuadráticos. Miras los términos en el binomio para encontrar el factor común más grande .

Aquí hay unos ejemplos:

  • [matemáticas] 2 {x} ^ {2} + 2 {x} [/ matemáticas]: Ambos términos contienen [matemáticas] x [/ matemáticas]; eso debe ser parte del factor común. Y ambos términos contienen [matemáticas] 2 [/ matemáticas]; por lo tanto, eso también debe ser parte del factor común. Nada más es común a ambos términos. Entonces el factor común más grande es [matemática] 2x [/ matemática]. Dividimos el primer término por [matemáticas] 2x [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] x [/ matemáticas], y el segundo por [matemáticas] 2x [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Poniendo todo esto juntos tenemos

    [matemáticas] 2x \ izquierda (x + 1 \ derecha) [/ matemáticas].

  • [matemática] {x} ^ {2} y-2y [/ matemática]: el único factor que contienen ambos términos es [matemática] y [/ matemática]. Dividimos el primer término entre [matemáticas] y [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] {x} ^ {2} y-2y [/ matemáticas] y el segundo término entre [matemáticas] y [/ matemáticas] para obtener [matemáticas ] -2 [/ matemáticas]. Nuevamente, armamos esto para obtener

    [matemáticas] y \ izquierda ({x} ^ {2} -2 \ derecha) [/ matemáticas].

Travis Brauer tiene la mejor respuesta.

Pero su ejemplo no puede ser factorizado. Los dos términos no tienen factores comunes. No es la diferencia de dos cuadrados.