¿Cuáles son los diversos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales?

Answer 1

Hay algunas EDO no lineales especiales que se pueden reducir a EDO lineales mediante sustituciones inteligentes.

En su mayor parte, las EDO no lineales no se resuelven fácilmente analíticamente. Los métodos numéricos están bien desarrollados. Estos tienden a dividirse en dos grupos. El primer grupo es finito diferentes métodos. El segundo grupo son los métodos de elementos finitos.

Los métodos de diferencias finitas utilizan un truncamiento de una serie taylor para aproximar derivados. Es posible que esté familiarizado con algunos de estos métodos. El Método de Euler y Runge-Kutta son ejemplos que se enseñan en algunas clases de EDO.

Los métodos de elementos finitos son un poco más difíciles de explicar porque tengo antecedentes limitados. Aquí hay un artículo sobre ellos. Método de elementos finitos Entiendo que se usan más para ecuaciones diferenciales parciales que las EDO.

Finalmente, a menudo puede visualizar el comportamiento de las EDO no lineales mediante análisis de punto fijo. Este es típicamente un tema de sistemas dinámicos. Aquí hay un artículo sobre eso. Sistema dinámico Si ha estudiado EDO, su libro probablemente tenga un capítulo sobre análisis de plano de fase relacionado.

Answer 2

Si está buscando una solución exacta de forma cerrada para una ecuación diferencial no lineal general, le diría buena suerte. A menos que haya una simetría subyacente que pueda explotarse, probablemente ni siquiera se pueda hacer. A veces tienes que comenzar con un ansatz, posiblemente con algún término de perturbación agregado, y luego ajustarlo. En palabras de un profesor de mecánica cuántica, tomé una clase de ‘Adivina bien y ve si funciona’. El matemático en mí no estaba particularmente impresionado con la respuesta en ese momento, pero es muchas veces la verdad.

Si está resolviendo una ecuación diferencial no lineal aproximadamente, se pueden utilizar métodos PDE numéricos. Es bueno verificar primero si la solución existe y si está bien planteada. Después de eso, puede usar un método de diferencia finita, un método de volumen finito o, probablemente, un método de elementos finitos.

Answer 3

La transformación de dispersión inversa se usa para algunas PDE seleccionadas.

En el caso de las EDO, a menudo se utilizan el factor integrador y la separación de variables.