¿Me puede explicar la parte [matemática] \ dfrac {en ^ 2} {2} [/ matemática] de la ecuación de posición?

Answer 1

Esta respuesta supondrá un conocimiento básico de diferenciación e integración, y un poco de análisis dimensional (que no es tan aterrador como parece). Específicamente, vamos a utilizar los hechos del cálculo que [math] \ frac {d} {dt} t ^ n = nt ^ {n-1} [/ math] ([math] n \ ne0 [/ math] ), [matemática] \ frac {d} {dt} c = 0 [/ matemática] ([matemática] c [/ matemática] constante) y [matemática] \ int t ^ n dt = \ frac {1} {n +1} t ^ {n + 1} + c [/ matemática] ([matemática] c [/ matemática] constante y [matemática] n \ ne -1 [/ matemática]).

Suponga que el desplazamiento de un objeto viene dado por [math] x (t) = f (t) [/ math]. Por el momento [math] f (t) [/ math] es una función desconocida, pero asumiremos también las relaciones entre desplazamiento y velocidad (instantánea), y entre velocidad y aceleración (instantánea), y a partir de esto vamos a ser capaz de llegar allí e incluso presentar los inicios de la expansión de la serie Taylor de una función.

Ahora sabemos que la unidad de desplazamiento es solo la longitud [matemática] L [/ matemática]. También sabemos que las unidades de velocidad son la longitud dividida por el tiempo, o [matemáticas] \ frac {L} {T} [/ matemáticas]. Después del patrón, la aceleración tiene unidades [matemáticas] \ frac {L} {T ^ 2} [/ matemáticas], o longitudes por unidad de tiempo al cuadrado. También puede pensar en ella como la “velocidad” de la velocidad misma: [matemáticas] \ frac {\ frac {L} {T}} {T} [/ matemáticas].

Volvamos a nuestro desplazamiento en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas], [matemáticas] x (t) = f (t) [/ matemáticas]. La derivada del desplazamiento con respecto al tiempo es [math] \ frac {dx} {dt} = f ^ \ prime (t) [/ math], donde el primo (o guión) [math] ^ \ prime [/ math] indica la derivada (de hecho, ambos lados de la ecuación son solo notaciones alternativas para la misma cosa; si no lo fueran, ¡ya no sería una igualdad!). Pero las unidades de esta derivada son [matemáticas] \ left [\ frac {dx} {dt} \ right] = \ frac {[x]} {[t]} = \ frac {L} {T} [/ math] , que es la velocidad (aquí los corchetes [matemática] [] [/ matemática] significan “las dimensiones de”).

De manera similar, la segunda derivada es [matemáticas] \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = f ^ {\ prime \ prime} (t) [/ matemáticas]. Sus unidades, por el mismo procedimiento, son [matemáticas] \ frac {L} {T ^ 2} [/ matemáticas], aceleración.

Entonces, dimensionalmente, la posición debe ser una función de la distancia más la velocidad por el tiempo, más la aceleración por el tiempo al cuadrado (¡y así sucesivamente, para derivadas más altas tan altas como desee!). Esto lo sabemos. Pero, ¿cuánto de cada una de esas cantidades?

Bueno, si tenemos [math] f (t) = c_0 + c_1 t + c_2 t ^ 2 + \ dots [/ math], donde las constantes [math] c_i [/ ​​math] son ​​constantes, vemos que

[matemáticas] \ begin {align *} f ^ \ prime (t) & = c_1 + 2c_1 t + \ dots \\ f ^ {\ prime \ prime} (t) = 2c_1 + \ dots. \ end {align *} [/matemáticas]

Entonces, en nuestro tiempo inicial [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], tenemos

[matemáticas] \ begin {align *} f (0) & = c_0 \\ f ^ \ prime (0) & = c_1 \\ f ^ {\ prime \ prime} (0) = 2c_1 \ end {align *} [ /matemáticas]

(y así sucesivamente para derivados más altos).

Pero sabemos que cada uno de estos valores debe (respectivamente) ser nuestro desplazamiento inicial, velocidad y aceleración. Entonces tenemos [matemáticas] x_0 = c_0 [/ matemáticas], [matemáticas] v_0 = c_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a_0 = 2c_2 [/ matemáticas]. El último nos da [math] c_2 = \ frac {a_0} {2} [/ math].

Ahora, si suponemos una aceleración constante, eso significa que la tercera derivada y en adelante será constante (se deja como ejercicio, si no es inmediatamente claro). Entonces, el desplazamiento en el tiempo [matemática] t [/ matemática] será

[matemáticas] x (t) = x_0 + v_0 t + \ frac {a_0} {2} t ^ 2 [/ matemáticas].

Otra forma de llegar es suponiendo, en primer lugar, una aceleración constante [matemática] a_0 [/ matemática], y sabiendo que su integral es la velocidad [matemática] v (t) = a_0 t + v_0 = v_0 + a_0 t [/ matemáticas].

La siguiente integral es el desplazamiento, que es [matemática] x (t) = x_0 + v_0 t + \ frac {a_0} {2} t ^ 2 [/ matemática].

Aquí el cálculo le brinda dos formas diferentes (pero obviamente relacionadas) de derivar ese factor de [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Answer 2

Primero veamos un caso más simple. Solo dividimos el tiempo en segundos enteros. El objeto salta cada segundo, y hasta qué punto salta está dado por [math] v [/ math] en ese momento.

Cada segundo tendrá un salto de una distancia igual a [matemática] v (t) = en [/ matemática]. La distancia total recorrida es la suma de todos estos pasos individuales. Forman una función en forma de escalera con un ancho de intervalos de 1 segundo. Si tomamos intervalos más pequeños, se verá más y más como un triángulo, y nuestra distancia total (la suma de las alturas multiplicada por el ancho de cada intervalo) será el área de ese triángulo. Entonces, obtenemos un triángulo con una altura igual a [matemáticas] en [/ matemáticas] y una base igual a [matemáticas] t [/ matemáticas], que tiene un área de [matemáticas] a \ frac {t ^ 2} {2} [/matemáticas].

Por supuesto, si conoce el cálculo, sabe que lo anterior es solo la intuición detrás de la integración, y dado que la aceleración es la derivada de la velocidad y la velocidad la derivada de la posición, tener aceleración constante significa que obtenemos exactamente la ecuación dada.

Answer 3

Comience con la definición de velocidad promedio:

[matemáticas] AverageSpeed ​​= \ frac {1} {2} (InitialSpeed ​​+ FinalSpeed) [/ math]

(De aquí es de donde viene la mitad).

También,

[matemática] FinalSpeed ​​= InitialSpeed ​​+ aceleración * tiempo [/ math]

Entonces

[matemática] AverageSpeed ​​= \ frac {1} {2} (2 * InitialSpeed ​​+ aceleration * time) [/ math]

Pero

[math] DistanceTravelled = AverageSpeed ​​* time [/ math]

[math] = \ frac {1} {2} (2 * InitialSpeed ​​+ aceleration * time) * time [/ math]

[matemática] = I [/ matemática] [matemática] nitialSpeed ​​[/ matemática] [matemática] * tiempo + [/ matemática] [matemática] \ frac {1} {2} aceleración * tiempo ^ 2 [/ matemática]

Cuál creo que es la ecuación que estabas buscando.

[Perdón por las palabras largas en lugar de símbolos, pensé que sería más claro ya que diferentes personas usan símbolos diferentes.]

Tenga en cuenta que usted dice en la pregunta que [math] a = v / t ^ 2 [/ math]. Creo que te referías a [matemáticas] a = distancia / t ^ 2 [/ matemáticas]. Pero, en cualquier caso, no es realmente correcto, aunque sí muestra las unidades. Como usted dice, le falta un factor de [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas].

Answer 4

La explicación intuitiva es que proviene del hecho de que la velocidad promedio durante el intervalo [matemático] t [/ matemático] en el que la aceleración es constante es [matemático] \ displaystyle \ frac {2u + en} {2} [/ matemático ] Por qué, porque u es la velocidad mínima (suponiendo que la aceleración en la dirección de [math] u [/ math]) y [math] u + en [/ math] es la velocidad máxima. De esta manera, la distancia recorrida es solo la velocidad promedio por [matemática] t [/ matemática].

Sin embargo, matemáticamente, esto no es muy riguroso. Se vuelve mucho más fácil de entender una vez que lees Cálculo. Sin embargo, como no lo hizo, aquí hay una forma de mejorarlo.

Divida el intervalo de tiempo [matemática] t [/ matemática] en n intervalos de longitud [matemática] \ delta t [/ matemática] de modo que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {t} {n} = \ delta t [/ matemáticas].

Deje que [math] n [/ math] sea un número muy grande tal que [math] \ delta t [/ math] sea lo suficientemente pequeño como para permitirnos suponer que la velocidad permanece prácticamente sin cambios en ese intervalo. Luego, las distancias recorridas en los intervalos primero, segundo, tercero, …, [matemático] n [/ matemático] están dadas por:

[matemáticas] u \ delta t, (u + a \ delta t) \ delta t, (u + 2a \ delta t) \ delta t,…, \ {u + (n – 1) a \ delta t \} \ delta t [/ matemáticas].

Inferimos que la distancia total recorrida en el intervalo [matemático] i [/ matemático] es [matemático] \ {u + (i – 1) \ delta t \} u \ delta t [/ matemático].

La distancia total recorrida en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] es solo la suma de todas estas distancias. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle s_t = \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ {u + (i – 1) \ delta t \} u \ delta t = u \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ delta t + a \ sum_ {i = 1} ^ {n} (i – 1) (\ delta t) ^ 2 [/ math]

Use el hecho de que [math] \ displaystyle \ delta t = \ frac {t} {n} [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle s_t = \ frac {ut} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} 1 + \ frac {at ^ 2} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ {n } (i – 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle = ut + at ^ 2 \ frac {n (n – 1)} {2n ^ 2} = ut + \ frac {at ^ 2} {2} \ left (1 – \ frac {1} { n} \ right) [/ math]

Tenga en cuenta que podemos hacer que el término [matemática] \ displaystyle \ left | \ frac {1} {n} \ right | [/ math] sea tan pequeño como lo deseemos en comparación con los otros términos al aumentar el número de intervalos que dividimos [math ] t [/ math] en (es decir, [math] n [/ math]). Esto significa que simplemente podemos eliminar este término del resultado final. Por lo tanto, obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle s_t = ut + \ frac {1} {2} en ^ 2 [/ matemáticas].

¡Esto es tan riguroso como puedo hacer esto sin un cálculo real!

Answer 5

La velocidad ha cambiado de v al principio a v + al final, por lo que la velocidad promedio durante el intervalo ha sido v + 1/2 a, por lo tanto, la distancia recorrida ha sido t (v + 1/2 a)