Matemática discreta: ¿Cómo demuestro si: [matemáticas] b ^ 2 – 4ac> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ neq 0, [/ matemáticas] y luego [matemáticas] p (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ math] tiene dos raíces reales distintas?

La ecuación cuadrática general es

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Aquí [math] x [/ math] representa un desconocido, mientras que [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] son constantes con [math] a \ neq0 [/ math].

Método 1 :

Larry Hoehn en 1975, completar el cuadrado se puede lograr mediante una secuencia diferente que conduce a una secuencia más simple de términos intermedios: (1) multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas], (2) reorganice, (3) luego agregar [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas].

En otras palabras, la fórmula cuadrática se puede derivar de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ (2ax + b) ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ 2ax + b & = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \\ 2ax & = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] 2a [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

Método 2:

El matemático Sridhar Acharya también resolvió la ecuación.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx & = -c \\ x ^ 2 + \ frac bax & = – \ frac ca \\ x ^ 2 + \ frac bax + \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2 & = \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2- \ frac ca \\\ left (x + \ frac ba \ right) ^ 2 & = \ frac {b ^ 2 } {4a ^ 2} – \ frac ca \\ x + \ frac ba & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca} \ end {align *} \ tag * { }[/matemáticas]

Aislando [math] x [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

Método 3:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

vamos, las raíces de la cuadrática son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 \\ & \ implica x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Comparando ambas ecuaciones, [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha- \ beta = \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {4c} a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} a \ etiqueta * {} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ alpha = – \ frac b {2a} + \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \\ & \ beta = – \ frac b { 2a} – \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Cada una de las soluciones dadas por la fórmula cuadrática se llama raíz de la ecuación cuadrática. Geométricamente, estas raíces representan los valores de x en los cuales cualquier parábola , dada explícitamente como y = ax2 + bx + c, cruza el eje x. Además de ser una fórmula que producirá los ceros de cualquier parábola, la ecuación cuadrática dará el eje de simetría de la parábola, y se puede usar para determinar de inmediato cuántos ceros tiene.

El discriminante (da información sobre la naturaleza de sus raíces )

D = b ^ 2 -4 * a * c

si D> 0; entonces dos raíces reales distintas

si D = 0; entonces las raíces son iguales, lo que significa dos raíces reales coincidentes x1 = x2 = -b / 2a

si D <0; dos raíces complejas distintas

Fórmula cuadrática – Wikipedia