Matemáticas: ¿Qué significa [math] \ mathbb {R} ^ {n} = E ^ {(s)} \ oplus E ^ {(u)} \ oplus E ^ {(c)} [/ math] y [math] A: \ mathbb {R} ^ {n \ rightarrow} \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] significa?

Answer 1

Suponiendo que el tema son EDO lineales. Adivinar E ^ (s) es la suma directa de espacios propios (y / o espacios generados por vectores propios generalizados) de A correspondiente a valores propios negativos, E ^ (c) correspondiente a valores propios complejos con parte real positiva, mientras que E ^ (u) corresponde a valores propios positivos y valores propios complejos con parte real positiva.

Valores propios complejos

En la práctica, imagine que el sistema es de 5 dimensiones; que la parte estable es de 1 dimensión, la parte inestable de 3 dimensiones y el centro de 1 dimensión. La notación de suma directa dice que podemos escribir cada punto en R ^ 5 como (S, U, C) = ((s), (u, v, w), (c)) donde S = (s) está en el parte estable, U = (u, v, w) es inestable y C = (c) está en el centro. En realidad, esto es solo agrupar los 5 componentes de cada punto en R ^ 5 (en base a vectores propios / vectores propios generalizados) en 3 partes en lugar de 5, para que pueda hablar sobre toda la parte estable / inestable / central sin ser específico sobre qué coordinar quiere decir exactamente dentro de cada uno.

Sin embargo, eso es un salto, así que también comprobaría el contexto en su libro.

Answer 2

Simplemente significa que A es una función de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] en sí misma, y ​​hay 3 subespacios de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] de modo que cada vector en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] puede representarse únicamente como una suma de tres vectores, un vector cada uno de cada subespacio. No sé qué significa estable / inestable / centro aquí, presumiblemente eso se describe en algún lugar cercano, o tal vez solo soy ignorante y esta es una terminología común para algo. Me imagino estable significa el subespacio cuya imagen es en sí misma.