Si se da que: [matemáticas] \ sqrt {2} \ cos (A) = \ cos (B) + \ cos ^ 3 (B) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {2} \ sin (A ) = \ sin (B) – \ sin ^ 3 (B) [/ math], entonces ¿cuál es el valor de [math] \ sin (AB) = [/ math]?

Answer 1

* A2A *

[matemáticas] 2 \ cos ^ 2 A = \ cos ^ 2 B + 2 \ cos ^ 4 B + \ cos ^ 6 B \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 \ sin ^ 2 A = \ sin ^ 2 B – 2 \ sin ^ 4 B + \ sin ^ 6 B \ etiqueta {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] 2 = 2 (\ cos ^ 2 A + \ sin ^ 2 A) \ etiqueta {3.1} [/ matemáticas]

[matemáticas] = (\ cos ^ 2 B + \ sin ^ 2 B) + 2 (\ cos ^ 4 B – \ sin ^ 4 B) + (\ cos ^ 6 B + \ sin ^ 6 B) \ etiqueta {3.2 }[/matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] 2 = 1 + 2 (\ cos ^ 2 B – \ sin ^ 2 B) + (\ sin ^ 4 B – \ sin ^ 2 B \ cos ^ 2 B + \ cos ^ 4 B) \ tag {4 }[/matemáticas]

[matemáticas] 2 = 3 \ cos ^ 4 B + \ cos ^ 2 B \ etiqueta {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 \ cos ^ 4 B + \ cos ^ 2 B – 2 = 0 \ etiqueta {6} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ cos ^ 2 B + 1) (3 \ cos ^ 2 B – 2) = 0 \ etiqueta {7} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] \ displaystyle \ cos B = \ pm \ sqrt {\ frac {2} {3}} [/ math], [math] \ displaystyle \ sin B = \ pm \ sqrt {\ frac {1} { 3}} [/ matemáticas].

Ahora,

[matemáticas] \ sqrt {2} \ sin A \ cos B = \ sin B \ cos B – \ sin ^ 3 B \ cos B \ tag {8} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt {2} \ cos A \ sen B = \ sin B \ cos B + \ sin B \ cos ^ 3 B \ tag {9} [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {2} \ sin (A – B) = – \ sin B \ cos B (\ sin ^ 2 B + \ cos ^ 2 B) = – \ sin B \ cos B = \ pm \ frac {\ sqrt {2}} {3} \ tag {10} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ sin (A – B) = \ pm \ frac {1} {3} \ tag {11} [/ matemáticas]

Answer 2

La respuesta es: [matemáticas] \ frac {1} {3}. [/ Matemáticas]

Como todavía no he descubierto cómo escribir símbolos matemáticos en Quora, aquí hay una guía paso a paso para resolver el problema.

1. Primero, cuadra ambos lados de las ecuaciones (1).
2. Tome [matemáticas] \ sin B [/ matemáticas] común de (2).
3. Cuadra la ecuación obtenida en el Paso 2.
4. Suma ambas ecuaciones.
5. Obtiene una ecuación cuadrática, que cuando se resuelve, da el valor de [matemáticas] \ cos ^ 2 B [/ matemáticas] como [matemáticas] \ frac {2} {3} [/ matemáticas]
6. Reúna los valores de cosA, cosB, sinA, sinB y sustitúyalos en la fórmula de sin (AB).

---

Answer 3

El valor de sin (AB) se puede obtener en términos de solo ángulo B.

sin (AB) = sinAcosB – cosAsinB.

= (sinB -sin ^ 3B) * cosB / sqrt (2) – (cosB + cos ^ 3B) * sinB / sqrt (2).

= 1 / sqrt (2) * (sinBcosB – sin ^ 3BcosB – cosBsinB – sinBcos ^ 3B).

= 1 / sqrt (2) * (- sin ^ 3BcosB-sinBcos ^ 3B).

= 1 / sqrt (2) * (- sinBcosB) * (sin ^ 2B + cos ^ 2B).

= -1 / 2 * sqrt (2) (2sinBcosB).

= -sin2B / 2 * sqrt (2).