¿Cuál es el comportamiento final de los polinomios? ¿Para qué necesitarías saber esto?

Answer 1

El comportamiento final de una función polinómica [matemática] f (x) [/ matemática] es el valor de [matemática] f (x) [/ matemática] a medida que [matemática] x [/ matemática] se aproxima a [matemática] \ pm \ infty [/matemáticas]. Esto es importante al graficar el polinomio, para que sepa en qué dirección van las flechas en los extremos del gráfico. También ayuda conocer el comportamiento final cuando se habla de mínimos y máximos, para ver cuándo un gráfico los tiene y cuándo no.

Para saber cuál es el comportamiento final de un polinomio, debe saber las cosas: el grado (el mayor exponente de [matemáticas] x [/ matemáticas]) y el coeficiente principal (el coeficiente del término con el mayor exponente) . El comportamiento final sigue estas reglas:

Cuando el grado es par y el coeficiente principal es positivo: como [math] x \ rightarrow \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow \ infty [/ math] y como [math] x \ rightarrow – \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow \ infty [/ math].

Cuando el grado es par y el coeficiente principal es negativo: como [matemática] x \ rightarrow \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow- \ infty [/ math] y como [math] x \ rightarrow- \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow- \ infty [/ math].

Cuando el grado es impar y el coeficiente principal es positivo: como [matemática] x \ rightarrow \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow \ infty [/ math] y como [math] x \ rightarrow – \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow- \ infty [/ math].

Cuando el grado es impar y el coeficiente principal es negativo: como [matemática] x \ rightarrow \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow- \ infty [/ math] y como [math] x \ rightarrow- \ infty [/ math], [math] f (x) \ rightarrow \ infty [/ math].

Answer 2

El “comportamiento final” de un polinomio (o casi cualquier función) es “¿qué sucede cuando la función se acerca al infinito?”. Se ve con mayor frecuencia en el aula como una función graficada de algún tipo. El “visual” del gráfico tiende a facilitar la interpretación de los seres humanos, sin embargo, las computadoras no usan el “visual”.

Su uso depende del problema. En algunas situaciones pueden ser extremadamente útiles. Considere un problema de fabricación donde algún defecto parece aparecer al azar. Al recopilar los datos y generar una función, puede descubrir que el defecto se produce cuando el número de unidades ensambladas se aproxima a 1275.

No todos los polinomios de comportamiento final se acercarán al infinito (ir disparando fuera del gráfico es como lo he escuchado más a menudo descrito), muchos se acercan a un número específico o lo suficientemente cerca de un número específico (en aplicaciones del mundo real) para ser la solución a un problema conocido .

Answer 3

Un resultado básico en un análisis complejo es que un polinomio se comporta como su término principal para módulos suficientemente grandes de su argumento. Esto se puede decir sucintamente de la siguiente manera:

Lema Para cada polinomio [matemático] P (z) [/ matemático] de grado [matemático] n [/ matemático] con un coeficiente principal 1, existe un real positivo [matemático] R [/ matemático] tal que para todos [matemático] | z | > R [/ math], la desigualdad [math] \ frac {1} {2} | z | ^ n <| P (z) | <\ frac {3} {2} | z | ^ n [/ math] se mantiene.

Prueba. Sea [math] P (z) = z ^ n + a_ {n-1} z ^ {n-1} +… + a_0 [/ math]. Por la desigualdad del triángulo, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle | P (z) | = | z ^ n + a_ {n-1} z ^ {n-1} +… + a_0 | \ geq | z | ^ n \ left (1 – \ frac {| a_ {n-1} |} {| z |} +… + \ frac {| a_0 |} {| z | ^ n} \ right) [ /matemáticas]

y

[matemáticas] \ displaystyle | P (z) | = | z ^ n + a_ {n-1} z ^ {n-1} +… + a_0 | \ leq | z | ^ n \ left (1 + \ frac {| a_ {n-1} |} {| z |} +… + \ frac {| a_0 |} {| z | ^ n} \ right) [ /matemáticas]

Ahora, deje que [math] a_m = \ max {| a_i |} [/ math] y seleccione [math] R = 2n a_m [/ math]. Para todos [matemáticas] | z | > R [/ math], tenemos que [math] \ displaystyle \ frac {| a_k |} {| z |} \ leq \ frac {a_m} {2n a_m} = \ frac {1} {2n} [/ math ] El resultado sigue trivialmente a la sustitución.

Ahora, en cuanto a para qué se puede usar esto … Sea [matemática] R [/ matemática] el número real positivo más pequeño tal que [matemática] | P (z) | > | z | ^ n / 2 [/ math] para todos [math] | z | > R [/ math] (sabemos que tal R existe gracias al lema). Esto significa que hay algo de [math] | z | \ leq R [/ math] tal que [math] | P (z) | \ leq | z | ^ n / 2 \ leq R ^ n / 2 [/ math], y por lo tanto, el mínimo de este polinomio en todo el plano complejo debe lograrse dentro de este disco.

Considere la función [matemática] f (z) = 1 / P (z) [/ matemática] y suponga que [matemática] P (z) [/ matemática] no tiene ceros complejos, es decir, [matemática] f (z) [/ matemáticas] es una función completa. Entonces, el máximo de [math] | f (z) | [/ math] en todo el plano complejo se logra dentro de un disco de radio [math] R [/ math] centrado en el origen, y está acotado. Sin embargo, según el teorema de Liouville, toda función limitada debe ser constante. Voila! Hemos demostrado que si [matemática] P (z) [/ matemática] no tiene ceros complejos, entonces debe ser el polinomio constante; este es el teorema fundamental del álgebra.

Answer 4

El comportamiento final es útil para examinar la tendencia en el valor de la función a medida que el valor de x aumenta y aumenta en magnitud. Ayuda a decirnos cómo se comporta f (x) a medida que el valor de x aumenta a infinito positivo o disminuye a infinito negativo.
Casos factibles:

Caso 1: Si el coeficiente principal (an) es positivo y la potencia (n) es par, ambos extremos del gráfico suben.

Caso 2: Si el coeficiente principal (an) es negativo y la potencia (n) es par, ambos extremos del gráfico disminuyen.

Caso 3: Si el coeficiente principal (an) es positivo y la potencia (n) es impar, la mano derecha del gráfico sube y la izquierda baja.

Caso 4: Si el coeficiente principal (an) es negativo y la potencia (n) es impar, la mano derecha del gráfico baja y la izquierda sube.

Comprenda también acerca de los tipos de polinomios