[matemáticas] y = \ cos ^ {- 1} (2x + x ^ 2) [/ matemáticas]. Encuentra [math] dy / dx [/ math] – ¿En esta pregunta podemos usar la regla de la cadena?

Answer 1

Estoy revisando la respuesta de Usuario y creo que te ha engañado un poco a pesar de que obtiene la respuesta correcta en la entrada.

Empezamos con

(1) [matemáticas] y = \ cos ^ {- 1} (2x + x ^ 2) [/ matemáticas]

En primer lugar, usaría la diferenciación implícita para obtener su respuesta.

Podemos escribir la ecuación original de esta manera:

(2) [matemáticas] \ cos {y} = 2x + x ^ 2 [/ matemáticas]

Repasemos la regla de la cadena: dice, por ejemplo, que

(3) [matemática] \ frac {d} {dx} (\ cos {y}) = \ frac {d} {dy} (\ cos {y}) \ frac {dy} {dx} [/ math]

Aplicando [math] \ frac {d} {dx} [/ math] a ambos lados de (1) arriba, obtenemos

(3) [matemáticas] – \ sin {y} \ frac {dy} {dx} = 2 + 2x [/ matemáticas]

Entonces

(4) [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {2 + 2x} {- \ sin (y)} [/ matemáticas]

Siempre tenemos la identidad estándar

[matemáticas] \ sin ^ 2 (y) + \ cos ^ 2 (y) = 1 [/ matemáticas]

Entonces podemos decir

(5) [matemática] \ sin (y) = \ sqrt {1- \ cos ^ 2 (y)} = \ sqrt {1- (2x + x ^ 2) ^ 2} [/ matemática]

Esto permite una expresión explícita para [math] \ frac {dy} {dx} [/ math], que se da en detalle en la respuesta del Sr. Doyle.

Answer 2

Si. Usted puede.

[matemáticas] f (u) = \ arccos (u) g (x) = 2x + x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(u) = \ frac {-1} {\ sqrt {1-u ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] g ‘(x) = 2 + 2x [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(g (x)) = – \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 4-4x ^ 3-4x ^ 2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ en caja {f ‘(g (x)) g’ (x) – \ frac {2 + 2x} {\ sqrt {1-x ^ 4-4x ^ 3-4x ^ 2}}} [/ matemáticas ]

Intenta integrarte,

[matemáticas] \ color {\ green} {- 2 \ displaystyle \ \ int {\ frac {1} {\ sqrt {1- (x ^ 4 + 4x ^ 3 + 4x ^ 2)}} + \ frac {x} {\ sqrt {1- (x ^ 2 + 2x)}}} dx} [/ math]

Poner, [matemáticas] x ^ 2 + 2x = \ cos (u), (x + 1) ^ 2-1 = \ cos (u), x = \ sqrt {\ cos (u) +1} -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] dx = \ dfrac {- \ sin (u)} {2 \ sqrt {\ cos (u) +1}} [/ matemáticas]

[matemáticas] -2 \ displaystyle \ \ int {\ dfrac {\ sqrt {\ cos (u) +1}} {\ sin (u)} \ times \ dfrac {- \ sin (u)} {2 \ sqrt { \ cos (u) +1}}} du [/ matemáticas]

Ahora, podemos simplificar esto,

[matemáticas] \ displaystyle \ \ int {} du [/ matemáticas]

[matemáticas] u + C [/ matemáticas]

[matemáticas] \ arccos (x ^ 2 + 2x) + C [/ matemáticas]

Gracias por el A2A

Answer 3

(A2A)

¡Si! La regla de la cadena es probablemente la mejor manera de solucionar este problema si conoce la derivada de arccos (x). La “función externa” es arccos y la “función interna” es 2x + x ^ 2. Luego, simplemente conéctese a su fórmula.

Pero es posible que no conozca esta derivada de arccos y necesita esto para usar la regla de la cadena, por lo que la derivaré aquí.

Comenzamos con la regla de la cadena con f = cos (x) y g = arccos (x). Debemos tener

d (f (g (x)) / dx = f ‘(g (x)) * g’ (x)

Debido a que f (g (x)) = x y dx / dx = 1,

1 = f ‘(g (x)) * g’ (x)

1 / (f ‘(g (x)) = g’ (x), que es la derivada que queremos. Ahora, f ‘(x) = – sin (x). Ahora intentamos evaluar -sin (arccos (x) ) Sea u = arccos (x), entonces tenemos

-sin (u) = – sqrt (1-cos (u) ^ 2) por la identidad pitagórica. Pero cos (u) = x, así que ponerlo todo junto da que la derivada de arccos (x) es

-1 / (sqrt (1-x ^ 2)).

Volviendo a su pregunta, d (2x + x ^ 2) / dx = 2 + 2x y la derivada es

– (2 + 2x) / (sqrt (1- (2x + x ^ 2) ^ 2))

Espero que eso te ayude a comprender mejor la respuesta.

Gracias por el A2A.

Answer 4

Por supuesto. Siempre que tenga una composición de funciones (una función “exterior” que se aplica a una función “interior”), la regla de la cadena funciona siempre que:

1. la función “inside” es diferenciable al valor de [math] x [/ math] (o lo que sea) de lo que estamos hablando, y
2. la función “exterior” es diferenciable en cualquier valor que la función interior nos esté dando para conectarnos a la función exterior.

Por ejemplo, aquí podemos pensar en la función “exterior” como [math] cos ^ {- 1} (u) [/ math], donde [math] u = 2x + x ^ 2 [/ math] es el ” dentro de la función “. Entonces, en este caso, [math] y [/ math] es diferenciable donde [math] 2x + x ^ 2 [/ math] está entre -1 y 1.

En cuanto al cálculo de la derivada, [math] \ frac {dy} {dx} [/ math] es la derivada “exterior” multiplicada por la derivada “interior”. Si sabe que la derivada de [matemática] \ cos ^ {- 1} (u) [/ matemática] es [matemática] \ frac {-1} {\ sqrt {1 – u ^ 2}} [/ matemática], entonces estamos en el negocio:

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = \ frac {-1} {\ sqrt {1-u ^ 2}} \ frac {du} {dx} [/ math]

Ahora solo tiene que ponerlo todo en términos de [matemática] x [/ matemática]: reemplace [matemática] u [/ matemática] con [matemática] 2x + x ^ 2 [/ matemática] y reemplace [matemática] \ frac { du} {dx} [/ math] con [math] 2 + 2x [/ math].

Answer 5

Si podemos.

Vamos a nombrar nuestras funciones para que la regla de la cadena en este caso se vuelva clara. Si [matemática] f (x) = \ arccos (x) [/ matemática] y [matemática] g (x) = \ frac {2x} {x ^ 2 + 1} [/ matemática] entonces [matemática] y = f (g (x)) = f \ circ g (x) [/ math]. También necesitamos los derivados

[matemáticas] f ‘(x) = – \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] g’ (x) = \ frac {2 (x ^ 2 + 1 ) -2x (2x)} {(x + 1) ^ 2} = \ frac {-2 (x-1)} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} [/ math]

Así que apliquemos la regla de la cadena a [math] y = f \ circ g [/ math]:

[matemática] \ frac {\ parcial y} {\ parcial x} = (f \ circ g) ‘(x) = f’ (g (x)) g ‘(x) [/ matemática]

y entonces:

[matemáticas] \ frac {\ partial y} {\ partial x} = – \ frac {1} {\ sqrt {1- \ left (\ frac {2x} {x ^ 2 + 1} \ right) ^ 2}} \ frac {-2 (x-1)} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} = \ frac {x ^ 2-1} {(x ^ 2 + 1) \ sqrt {(x ^ 2-1) ^ 2}} [/ matemáticas]

Puede verse tentado a cancelar [matemáticas] x ^ 2-1 [/ matemáticas] pero tenga en cuenta que no es necesariamente cierto que [matemáticas] \ sqrt {(x ^ 2-1) ^ 2} = x ^ 2-1 [ / math] porque [math] x ^ 2-1 [/ math] podría ser un número negativo.

Answer 6

Sí tu puedes. Digamos que [math] u = 2x + x ^ 2, du / dx = 2 + 2x, y = arccos u, [/ math]

[matemáticas] dy / du = -1 / sqrt (1 – u ^ 2), luego dy / dx = dy / du * du / dx, dy / dx = -1 / sqrt (1 – (2x + x ^ 2) ^ {2}) * 2 + 2x [/ matemáticas]

Espero eso ayude…

Answer 7

No haré todo el trabajo por ti, pero esto debería llevarte allí.

Tome el coseno de ambos lados y tendrá una expresión para [math] \ cos (y) [/ math]. Diferenciar esto para obtener [matemáticas] – \ sin (y) \ frac {dy} {dx} [/ matemáticas] es igual a una expresión en x (usando la regla para diferenciar un cociente).

Por Pitágoras, puede ver que [matemáticas] \ sin (y) = \ frac {1-x ^ 2} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas] y ahora tiene una expresión para [matemáticas] \ frac {dy } {dx} [/ math].