Es instructivo resolver el caso general,
[matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ a \ left (a ^ 2 + x ^ 2 \ right) ^ {\ frac {n} {2}} \ mathrm {d} x [/ math]
que trae algunas ideas interesantes. Primero, notamos que el papel del parámetro [math] a [/ math] es superficial y se escala horizontalmente usando la sustitución [math] x = a \ tan \ theta [/ math], lo que lleva a
[matemáticas] \ displaystyle a ^ {n + 1} \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ {n + 2} \ theta \ mathrm {d} \ theta = a ^ {n + 1} I_ {n + 2} [/ matemáticas]
- Matemática discreta: ¿Cómo demuestro si: [matemáticas] b ^ 2 – 4ac> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a \ neq 0, [/ matemáticas] y luego [matemáticas] p (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ math] tiene dos raíces reales distintas?
- Matemáticas: ¿Qué significa [math] \ mathbb {R} ^ {n} = E ^ {(s)} \ oplus E ^ {(u)} \ oplus E ^ {(c)} [/ math] y [math] A: \ mathbb {R} ^ {n \ rightarrow} \ mathbb {R} ^ {n} [/ math] significa?
- Si se da que: [matemáticas] \ sqrt {2} \ cos (A) = \ cos (B) + \ cos ^ 3 (B) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sqrt {2} \ sin (A ) = \ sin (B) – \ sin ^ 3 (B) [/ math], entonces ¿cuál es el valor de [math] \ sin (AB) = [/ math]?
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- ¿Cuál es la fórmula para los coeficientes de regresión múltiple si se usan solo medias y covarianzas, sin datos?
dónde
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ n \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math]
Sustituyendo [math] u = \ sqrt {2} \ sin \ theta [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ int_0 ^ 1 \ sec ^ {n + 1} \ theta \ mathrm {d} u = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} \ int_0 ^ 1 \ frac {\ mathrm {d} u} {\ left (1- \ frac {u ^ 2} {2} \ right) ^ {\ frac {n + 1} {2}}} [ /matemáticas]
Además, dejando que [matemáticas] v = u ^ 2 [/ matemáticas] obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ frac {1} {2 ^ {3/2}} \ int_0 ^ 1 \ frac {v ^ {- 1/2}} {\ left (1- \ frac {v} {2 } \ right) ^ {\ frac {n + 1} {2}}} \ mathrm {d} v \ dotsi (*) [/ math]
La integral obtenida anteriormente se evalúa en términos de la función hipergeométrica definida por
[matemáticas] \ displaystyle {} _2 F_1 \ left (a, b; c; z \ right) = \ frac {\ Gamma (c)} {\ Gamma (b) \ Gamma (cb)} \ int_0 ^ 1 \ frac {v ^ {b-1} (1-v) ^ {cb-1}} {(1-vz) ^ a} \ mathrm {d} v, ~~ | z | <1 [/ math]
Comparando la ecuación [math] (*) [/ math] con la definición anterior obtenemos
[matemáticas] a = \ frac {n + 1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] b-1 = – \ frac {1} {2} \ Rightarrow b = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemática] cb-1 = 0 \ Estrella derecha c = b + 1 = \ frac {3} {2} [/ matemática]
[matemáticas] z = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Finalmente,
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ frac {\ Gamma \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ Gamma (1)} {2 ^ {3/2} \ Gamma \ left (\ frac {3} {2} \ right)} {} _ 2 F_1 \ left (\ frac {n + 1} {2}, \ frac {1} {2}; \ frac {3} {2}; \ frac {1} {2 } \ right) [/ math]
Se puede simplificar aún más el uso de los valores estándar de [matemáticas] \ Gamma (3/2) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Gamma (1/2) [/ matemáticas].
En cualquier caso, los pasos anteriores parecen estar hechos a medida para usar la definición de la función hipergeométrica. Sin embargo, hay una imagen más profunda, que me gustaría pintar con la ayuda de algunas observaciones. Espero que el lector los encuentre interesantes. Comenzando de nuevo con [math] I_n [/ math], obtenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ n \ theta \ mathrm {d} \ theta = \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ n \ theta \ left (\ sec ^ 2 \ theta- \ tan ^ 2 \ theta \ right) \ mathrm {d} \ theta = I_ {n + 2} – \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ n \ theta \ tan ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle = I_ {n + 2} – \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ left (\ tan \ theta \ right) \ left (\ sec ^ {n-1} \ theta \ sec \ theta \ tan \ theta \ right) \ mathrm {d} \ theta [/ math]
integrando por partes, tenemos
[matemáticas] \ displaystyle I_n = I_ {n + 2} – \ left. \ tan \ theta \ frac {\ sec ^ n \ theta} {n} \ right \ vert_0 ^ {\ pi / 4} + \ int_0 ^ { \ pi / 4} \ frac {\ sec ^ n \ theta} {n} \ sec ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta = \ left (1+ \ frac {1} {n} \ right) I_ { n + 2} – \ frac {2 ^ {n / 2}} {n} [/ matemáticas]
Simplificando aún más, obtenemos la relación de recurrencia
[matemáticas] \ displaystyle (n + 1) I_ {n + 2} -nI_n = 2 ^ {n / 2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que la secuencia integral [matemática] I_n [/ matemática] satisface una ecuación de diferencia lineal no homogénea de segundo orden. Una solución general de las cuales necesita la especificación de 2 condiciones iniciales. Por ejemplo,
[matemáticas] I_0 = \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ mathrm {d} \ theta = \ frac {\ pi} {4} [/ matemáticas]
y
[matemáticas] I_2 = \ int_0 ^ {\ pi / 4} \ sec ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta = 1 [/ matemáticas]
se encuentran trivialmente. También se puede usar [matemáticas] I_1 = \ frac {1} {2} \ ln (3 + 2 \ sqrt {2}) [/ matemáticas].
Reflexionando sobre la solución general de esta ecuación de diferencia, uno encuentra que la falta de homogeneidad (causada por el término [matemáticas] 2 ^ {n / 2} [/ matemáticas] hace que la vida sea poco difícil, mientras que el hecho de que los coeficientes de [matemáticas ] I_ {n, n + 2} [/ math] son polinomios simples de [math] n [/ math] es una característica bienvenida. Si se puede resolver la ecuación homogénea, a saber [matemáticas] (n + 1) I_ {n + 2} -nI_n = 0 [/ matemáticas], no es difícil escribir las soluciones particulares, utilizando un análogo del método de variación de los parámetros utilizados para las EDO del presente tipo. Se puede obtener más información en esta dirección aquí. Aún así, a uno le gustaría saber la conexión con las funciones hipergeométricas. Nuevamente, solo señalaré un resultado importante en la teoría de ecuaciones de diferencia con coeficientes polinómicos, atribuida a Marko Petkovsek, que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación del tipo actual tenga una solución hipergeométrica. El algoritmo, que proporciona esta solución explícitamente, se llama algoritmo Petkovsek. Otros dos maestros merecen mención aquí, a saber, Herbert Wilf y Doron Zeilberger, quienes investigaron exhaustivamente tales ecuaciones. El trío ha recopilado sus resultados en el texto clásico “A = B”, que se recomienda para el lector que desee una presentación detallada. Los programas necesarios también se pueden encontrar aquí. [o Ref. este papel]
En conclusión, invitaría al lector a poner explícitamente la solución obtenida anteriormente en la relación de recurrencia y verificar que satisface lo mismo (: p). Esto dependería de una de las relaciones de recurrencia [matemáticas] 15 [/ matemáticas] que satisface la función hipergeométrica [Ver Abramowitz y Stegun].
Salud !