¿Cuál es la aplicación del álgebra abstracta en física, excepto la teoría de grupos?

Answer 1

Gracias por A2A.

Entonces, olvidemos la teoría de grupo (siguiendo su pregunta).

Los enrejados se usan con mucha frecuencia en física teórica, pero sus estructuras algebraicas rara vez son un problema. Los espacios vectoriales, por supuesto, se usan mucho y es una herramienta muy importante para saber. No conozco ningún uso de módulos en física, aunque estoy bastante seguro de que el álgebra no conmutativa está en el corazón de los fundamentos de la física cuántica. La topología algebraica es ciertamente útil en los campos que usan nudos y trenzas, así como cuando las personas están interesadas en los aspectos topológicos de algunos fenómenos físicos (ver números de Chern, por ejemplo). La teoría de la representación, por supuesto, está estrechamente relacionada con la teoría de grupos, por lo que no sé si se aplica a su pregunta, pero, por supuesto, se usa mucho en muchos casos. Sé que los autores han estado relacionando, por ejemplo, FQHE con la teoría de números. Si tiene algo que ver con el álgebra es algo que no sé, pero supongo que sí. Además, las álgebras de Lie son muy importantes, en particular, los generadores.

Answer 2

Si excluye Álgebra lineal de Álgebra abstracta y excluye Teoría de grupo de Álgebra abstracta, existen en gran medida las nociones de anillos, campos y álgebras. Estas aplicaciones específicas no son tan útiles.

Sin embargo, el álgebra abstracta es muy útil para la sofisticación matemática. Básicamente, no puedes hacer teoría de grupo sin ella. Ayuda a comprender los espacios vectoriales y los espacios de Hilbert. Si bien los temas anteriores no son esenciales para la topología algebraica (ya que gran parte es teoría de grupo), sería extraño no estar familiarizado con los conceptos.

Answer 3

Una gran cantidad de álgebra abstracta juega un papel en la física. Álgebra lineal es un subconjunto de álgebra abstracta (los espacios vectoriales son solo módulos sobre un campo en lugar de un anillo).

Para ejemplos más avanzados, las álgebras de mentiras y las álgebras de matrices se usan todo el tiempo en física (un ejemplo del soporte de mentiras es el conmutador). Partiendo de esto, la teoría de la representación también es bastante importante porque permite a los físicos incrustar sus estructuras grupales en matrices para manejarlas más fácilmente en las ecuaciones (la teoría de la representación usa transformaciones lineales para representar estructuras grupales).

Estoy seguro de que también hay más ejemplos, ya que los temas como la geometría diferencial se usan mucho en física y partes de esos temas dependerán del álgebra abstracta de una forma u otra.