Cómo integrar: [matemáticas] \ int \ frac {\ log x dx} {1 + x}

Answer 1

Supongamos por simplicidad que [math] \ log x [/ math] es de base [math] e [/ math]. A primera vista, el denominador [math] x + 1 [/ math] parece estar interfiriendo, lo que provoca la sustitución [math] u = 1 + x [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ int \ frac {\ ln x} {1 + x} \, dx = \ int \ frac {\ ln (u-1)} {u} \, du [/ math]

y eso, es una integral especial (relacionada con la función de Spence [matemáticas] Li_2 (x) [/ matemáticas]) sin antiderivada elemental .

Sin duda, si continuamos como si tuviéramos una función de valor complejo , entonces:

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int \ frac {\ ln (u-1)} {u} \, du & = \ int \ frac {\ ln [(1-u) (- 1)]} {u} \, du \\ & = \ int \ frac {\ ln (1-u)} {u} \, du + \ int \ frac {\ ln (-1)} {u} \, du \\ & = – \ int – \ frac {\ ln (1-u)} {u} \, du + \ ln (-1) \ int \ frac {1} {u} \, du \\ & = – Li_2 ( u) + \ ln (-1) \ ln u + C \ end {align} [/ math]

Como [math] u = 1 + x [/ math], al volver [math] u [/ math] a [math] x [/ math] se obtiene:

[matemáticas] \ begin {align} \ displaystyle \ int \ frac {\ ln x} {1 + x} \, dx & = – Li_2 (u) + \ ln (-1) \ ln u + C \\ & = – Li_2 (1 + x) + \ ln (-1) \ ln (1 + x) + C \ end {align} [/ math]