Comenzando con la identidad senoidal de medio ángulo:
[matemáticas] sin (x) = 2sin (\ frac {x} {2}) \ cdot cos (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]
obtenemos
[matemáticas] sin ^ 2 (x) = 4sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) \ cdot cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) [/ matemáticas]
- ¿Podría decirme si cada problema cuya solución puede ser verificada por una computadora en tiempo polinómico puede ser resuelta por una computadora en tiempo polinómico?
- ¿Cuál es el comportamiento final de los polinomios? ¿Para qué necesitarías saber esto?
- Si log (x + y) en la base 2 = log (x – y) en la base 3 = log 25 / log 0.2 en la base 10, encuentre los valores de x e y
- Cómo integrar: [matemáticas] \ int \ frac {\ log x dx} {1 + x}
- Para verificar si el número es raíz cuadrada o no sin usar la función sqrt?
y
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (x)} = \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) \ cdot cos ^ 2 (\ frac {x} {2} )}[/matemáticas]
[matemáticas] = \ dfrac {sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) + cos ^ 2 (\ frac {x} {2})} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {2}) \ cdot cos ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ math]
[math] = \ dfrac {1} {4cos ^ 2 (\ frac {x} {2})} + \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {2})} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 1} [/ matemáticas]]
A lo largo de líneas similares,
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {2})} = \ dfrac {1} {4cos ^ 2 (\ frac {x} {4})} + \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {4})} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 2} [/ matemáticas]],
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {4})} = \ dfrac {1} {4cos ^ 2 (\ frac {x} {8})} + \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {8})} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 3} [/ matemáticas]]
[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ {n – 1}})} = \ dfrac {1} {4cos ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n} )} + \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} n} [/ matemáticas]]
Ahora, sumando todas las ecuaciones anteriores de la manera:
[matemáticas] {\ color {rojo} 1} + {\ color {rojo} 2} \ cdot 4 + {\ color {rojo} 3} \ cdot 4 ^ 2 + \ cdots + {\ color {rojo} n} \ cdot 4 ^ {n – 1} [/ matemáticas]
, obtenemos:
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (x)} + \ dfrac {1} {4sin ^ 2 (\ frac {x} {2})} + \ dfrac {1} {4 ^ 2sin ^ 2 ( \ frac {x} {4})} + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ {n – 1} sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ {n – 1}})} = \ dfrac {1} {4} \ Big \ {\ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {2})} + \ dfrac {1} {cos ^ 2 (\ frac {x} {2}) } \ Big \} + \ dfrac {1} {4 ^ 2} \ Big \ {\ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {4})} + \ dfrac {1} {cos ^ 2 (\ frac {x} {4})} \ Big \} + \ dfrac {1} {4 ^ 3} \ Big \ {\ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {8})} + \ dfrac {1} {cos ^ 2 (\ frac {x} {8})} \ Big \} + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ n} \ Big \ {\ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} + \ dfrac {1} {cos ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} \ Big \} [/ math]
Como podemos observar muy fácilmente, [math] sin ^ 2 (\ alpha) [/ math] ([math] \ alpha = \ dfrac {x} {2 ^ n}, n \ in \ mathbb {Z ^ +} [/ math]) los términos de ambos lados de la ecuación se cancelan, y nos queda muy convenientemente con:
[matemáticas] \ dfrac {1} {sin ^ 2 (x)} = \ dfrac {1} {4cos ^ 2 (\ frac {x} {2})} + \ dfrac {1} {4 ^ 2cos ^ 2 ( \ frac {x} {4})} + \ dfrac {1} {4 ^ 3cos ^ 2 (\ frac {x} {8})} + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ n} \ Big \ {\ dfrac {1} {sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} + \ dfrac {1} {cos ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} \ Big \} [/matemáticas]
O
[matemáticas] \ dfrac {1} {4} segundos ^ 2 (\ frac {x} {2}) + \ dfrac {1} {4 ^ 2} segundos ^ 2 (\ frac {x} {4}) + \ dfrac {1} {4 ^ 3} seg ^ 2 (\ frac {x} {8}) + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ n} sec ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n} ) = \ dfrac {1} {sin ^ 2 (x)} – \ dfrac {1} {4 ^ nsin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} [/ math]
O
[matemáticas] \ dfrac {1} {2 ^ 2} segundos ^ 2 (\ frac {x} {2}) + \ dfrac {1} {2 ^ 4} segundos ^ 2 (\ frac {x} {4}) + \ dfrac {1} {2 ^ 6} seg ^ 2 (\ frac {x} {8}) + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ n} sec ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n}) = csc ^ 2 (x) – \ dfrac {1} {4 ^ nsin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} [/ math]
[[matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas]]
Ahora, haciendo uso de los hechos [math] \ dfrac {x} {2 ^ n} \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math] y [math] \ dfrac {sin (\ alpha)} {\ alpha} \ rightarrow 1 [/ math] como [math] \ alpha \ rightarrow 0 [/ math], podemos decir que:
[matemáticas] sin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n}) \ aprox \ dfrac {x ^ 2} {(2 ^ n) ^ 2} [/ matemáticas]
, y por lo tanto,
[matemáticas] \ dfrac {1} {4 ^ nsin ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n})} \ aprox \ dfrac {1} {4 ^ n \ cdot \ dfrac {x ^ 2} {4 ^ n}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ aprox \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ matemáticas],
que después de volver a poner en la ecuación [matemáticas] {\ color {rojo} 4} [/ matemáticas] toma la forma:
[matemáticas] \ dfrac {1} {2 ^ 2} segundos ^ 2 (\ frac {x} {2}) + \ dfrac {1} {2 ^ 4} segundos ^ 2 (\ frac {x} {4}) + \ dfrac {1} {2 ^ 6} seg ^ 2 (\ frac {x} {8}) + \ cdots + \ dfrac {1} {4 ^ n} sec ^ 2 (\ frac {x} {2 ^ n}) \ aprox csc ^ 2 (x) – \ dfrac {1} {x ^ 2} [/ math]
QED
Es muy posible que haya algo que haya pasado por alto o que haya pasado por alto. En tal caso, hágamelo saber sobre lo mismo, para que pueda actualizar esta respuesta mía.
Espero que haya ayudado.