Solo para agregar un poco a la respuesta de Richard Morris. Si hay n ecuaciones con m variables desconocidas yn = my todas las n ecuaciones son linealmente independientes entre sí, entonces hay una y exactamente una solución al problema. Si alguna de las n ecuaciones son combinaciones lineales de las otras ecuaciones, es decir, no es linealmente independiente, entonces básicamente debe ignorar esa ecuación y proceder como si tuviera solo n-1 ecuaciones y nuevamente si m = n-1 tiene una Y exactamente una solución. Si n> m tiene más ecuaciones que variables desconocidas y si todas las n ecuaciones son linealmente independientes, no hay solución que satisfaga todas las ecuaciones. Si elige un subconjunto de m de las n ecuaciones, obtendrá una solución para ese subconjunto, pero no coincidirá con las ecuaciones restantes que no eligió. Si n <m tiene menos ecuaciones que desconocidas y hay infinitas soluciones y puede escribir n de las variables como combinaciones de las variables mn restantes, es decir, colocar cualquier valor en esas variables mn le dará una solución que satisfaga las ecuaciones.
Este problema está estrechamente relacionado con la idea de dimensionalidad de un espacio vectorial en que un espacio vectorial con exactamente n vectores de base tiene una dimensión de n y cada vector se describe completamente con n números que son las proyecciones de ese vector en el vector base correspondiente .
Ambos problemas están relacionados con el concepto de dependencia lineal, que es la idea de que un vector o ecuación puede expresarse como una combinación lineal de los otros vectores o ecuaciones. La independencia lineal es el concepto opuesto y es la idea de que un vector o ecuación dada no puede expresarse en términos de los otros vectores o ecuaciones y es, como tal, una información genuina para el sistema. Un vector o ecuación linealmente dependiente puede expresarse como una combinación lineal de otros vectores o ecuaciones y, por lo tanto, no representan una nueva información sobre el sistema. Considere una ecuación x + 2y + 3z = 15 y 2x + 3y + z = 17 y luego considere una ecuación 3x + 5y + 4z = 32. Esta última ecuación es simplemente la suma de los dos y, por lo tanto, no proporciona ninguna información nueva y entonces puede ser ignorado. Por lo tanto, el sistema tiene 2 ecuaciones y 3 desconocidas y, por lo tanto, tiene infinitas soluciones, ya que puede establecer z en lo que desee y luego expresar x e y en términos de z e independientemente del valor que establezca para z resolverá la ecuación.
x + 2y = 15 – 2z y 2x + 3y = 17 – z multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 y restando las dos entre sí le da: (3 * 1 – 2 * 2) x + (3 * 2-2 * 3) y = 3 * 15 – 2 * 17 + (3 * -2 – 2 * -1) z o -x = 45-34 + (-6 + 2) z o x = 4z – 11
- Si [matemáticas] \ cos \ frac {x} {2} \ cdot \ cos \ frac {x} {4} \ cdot \ cos \ frac {x} {8} \ cdots = \ frac {\ sin x} {x } [/ math], ¿cómo probamos [math] \ frac {1} {2 ^ 2} \ sec ^ 2 \ frac {x} {2} + \ frac {1} {2 ^ 4} \ sec ^ 2 \ frac {x} {4} + \ cdots = \ csc ^ 2 x- \ frac {1} {x ^ 2} [/ math]?
- ¿Podría decirme si cada problema cuya solución puede ser verificada por una computadora en tiempo polinómico puede ser resuelta por una computadora en tiempo polinómico?
- ¿Cuál es el comportamiento final de los polinomios? ¿Para qué necesitarías saber esto?
- Si log (x + y) en la base 2 = log (x – y) en la base 3 = log 25 / log 0.2 en la base 10, encuentre los valores de x e y
- Cómo integrar: [matemáticas] \ int \ frac {\ log x dx} {1 + x}
Si multiplicamos el primero por dos y restamos el segundo, obtenemos de manera similar: (2 * 1-2) x + (2 * 2-3) y = 2 * 15-17 + (2 * -2 – -1) z o y = 13-3z.
Para ver que estos satisfacen las ecuaciones originales simplemente inserte los valores:
(4z-11) + 2 (13-3z) = 4z – 11 + 26 – 6z = 15 – 2z
2 (4z-11) + 3 (13-3z) = 8z – 22 + 39 – 9z = 17 – z
Entonces z puede ser cualquier valor que desee, establecer x igual a 4z-11 e y igual a 13-2z dará una solución a las ecuaciones.
Volviendo a su ecuación, parece que solo hay una ecuación y muchas variables. Basta decir que los valores pueden ser cualquier valor que desee.
Sin embargo, usted por ax y así sucesivamente significa multiplicado por x en lugar de simplemente un nuevo eje variable a medida que se queda sin letras del alfabeto, la ecuación no es lineal. Sin embargo, todavía es solo una ecuación con muchas incógnitas y tiene infinitas soluciones. A menos que tenga restricciones adicionales que puedan ayudarlo a determinar los valores de la mayoría de estas variables, es relativamente poco interesante encontrar solo una solución, ya que hay tantas.