¿Cómo resolverás estas ecuaciones x ^ 2 + y = 21 y x + y ^ 2 = 29?

Answer 1

Sí, las respuestas finales son obvias. Pero, déjame mostrarte la forma matemática de hacerlo primero.

Puede escribir [matemáticas] y [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas] como,

[matemáticas] y = 21-x ^ 2 [/ matemáticas] (1)

[matemáticas] y = \ sqrt {29-x} [/ matemáticas] (2)

Si equiparamos estos,

[matemáticas] 21-x ^ 2 = \ sqrt {29-x} [/ matemáticas]

[matemáticas] (21-x ^ 2) ^ 2 = 29-x [/ matemáticas]

[matemáticas] 441-42x ^ 2 + x ^ 4 = 29-x [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ 4-42x ^ 2 + x + 412 = 0 [/ matemáticas]

Estamos obteniendo una ecuación de cuarto. Podemos resolverlo así factorizando, usando la división sintética . Si no sabes qué es la división sintética, mira el video,

Puede ver que esto se factoriza perfectamente por [matemática] (x-4) [/ matemática], ya que todos los coeficientes, excepto [matemática] 1 [/ matemática] son ​​divisibles por [matemática] 4 [/ matemática], incluyendo, 412 , 42 y 0.

[matemáticas] (x-4) (x ^ 3 + 4x ^ 2-26x-103) = 0 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas], (que es la única solución que pude encontrar),

[matemáticas] (4-4) (4 ^ 3 + 4 (4) ^ 2-26 (4) -103) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = 0 [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]

Entonces, para encontrar [matemáticas] y [/ matemáticas],

[matemáticas] y = \ sqrt {29-4} = \ sqrt {25} = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 21-16 = 5 [/ matemáticas]

(Cuidado, hay otras soluciones que soy flojo de encontrar)

Entonces, si agregamos, [matemática] x = 4, y = 5 [/ matemática]

[matemáticas] (4) ^ 2 + 5 = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] 16 + 5 = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] 21 = 21 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4+ (5) ^ 2 = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 + 25 = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] 29 = 29 [/ matemáticas]

Sí, tienen razón!

Gracias por el A2A

Answer 2

Aquí hay una manera de encontrar la solución que sea ligeramente diferente de los métodos proporcionados en otras respuestas.

[matemáticas] y ^ {2} + x = 29 [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {2} + y = 21 [/ matemáticas].

Restando la ecuación inferior de la superior, obtenemos que [matemática] y ^ {2} – x ^ {2} + x – y = 8 [/ matemática]. Por diferencia de cuadrados, esto significa que [matemáticas] (x + y) (y – x) + x – y = 8 [/ matemáticas]. Factorizando el LHS de esta ecuación, obtenemos que (x – y) (1 – x – y) = 8.

Estamos buscando soluciones enteras para la ecuación inicial. Esto produce los siguientes 8 escenarios.

x – y = ± 1

1 – x – y = ± 8

O

x – y = ± 2

1 – x – y = ± 4

O

x – y = ± 4

1 – x – y = ± 2

O

x – y = ± 1

1 – x – y = ± 8.

Resuelve cada sistema de ecuaciones, mira lo que obtienes para x e y, y luego conecta esos valores de x e y en las ecuaciones iniciales para ver si dan una respuesta viable.

Después de esta prueba de plug and chug, verá que el escenario:

x – y = – 1

1 – x – y = – 8

te da la respuesta correcta de x = 4, y = 5!

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Por supuesto, si está buscando soluciones no enteras, este método no le dará el rango completo de respuestas.

Answer 3

Gracias por A2A.

De la ecuación i:

[matemáticas] y ^ 2 = (21 – x ^ 2) ^ 2 = 441 – 42x + x ^ 4 [/ matemáticas]

Pon el valor en la ecuación ii:

[matemáticas] x ^ 4 – 41x + 412 = 0 [/ matemáticas]

Claramente esta ecuación tiene cuatro raíces. Ahora, aplicando un método numérico para encontrarlos, se obtendría la solución deseada en un intervalo específico.

Sin embargo, creo que los gráficos son más interesantes y la representación pictórica también es vívida.

Ahora las ecuaciones son de parábola, y las he trazado.

Amplíe la imagen para una mejor vista. El rojo es la ecuación iy el azul es la ecuación ii.

Se cruzan en cuatro puntos produciendo cuatro raíces, es decir, cuatro valores de x. x y la correspondiente y se dan como un par ordenado de coordenadas a continuación:

Cuadrante I: (4,5)

Cuadrante II: (-3.91, 5.74)

Cuadrante III: (-5.18, -5.85)

Cuadrante IV: (5.09, -4.89)

Intente estos valores en la ecuación.

NB: para el método numérico:

Bisección o Regula-Falsi, los intervalos son: [3.5, 4.5], [-4, -3], [-6, -5] y [5, 6]

Conjetura más cercana de Newton-Rhapson como: 3, -4, -5, 5.

Answer 4

Por ahora, no puedo pensar en una solución elegante, por lo que existe la fuerza bruta.

[matemáticas] y = 21-x ^ 2 [/ matemáticas]

sustituyendo y desde arriba en la ecuación 2,

[matemáticas] x + (21-x ^ 2) ^ 2 = 29 [/ matemáticas]

Como puede ver, vamos a entrar en una ecuación biquadrática y todas las raíces deben ser verificadas.

Obtenemos [matemáticas] x ^ 4 -42x ^ 2 + x + 412 = 0 [/ matemáticas]

Al resolver obtenemos 4 soluciones

1) x = 4, y = 5 – Esto satisface ambas ecuaciones

2) x = 3.639640123753895, y = 7.753 -No es una solución

3) x = -2.486486728543614 + i * (1349521.8029283987) -No satisface

4) x = -2.486486728543614 – i * 1.8029283987134952 -No satisface.

La razón por la que obtenemos raíces extrañas (las soluciones que no satisfacen se deben al hecho de que una ecuación de segundo orden se convierte en una de cuarto orden).

Nota 1: es posible que haya cometido un error al verificar las soluciones complejas. Si he cometido un error, por favor avíselo.

Nota 2: Si encuentro una solución mejor y más elegante, la publicaré.

Answer 5

En primer lugar, este par de ecuaciones simultáneas tiene cuatro pares de soluciones, no solo un par. Aquí es por qué. Si tuviera que trazar las gráficas de [matemáticas] y = 21-x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 29-y ^ 2 [/ matemáticas] en el mismo par de ejes, obtenemos (cortesía de Wolfram Alfa):

Claramente hay cuatro pares de soluciones. Nos propusimos encontrarlos.

Primero tomamos prestado el trabajo de Prajod Chemmarathil Prasad hasta el punto:

[matemáticas] (x − 4) (x ^ 3 + 4x ^ 2−26x − 103) = 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas] es una solución. Las otras tres soluciones se obtienen resolviendo

[matemáticas] x ^ 3 + 4x ^ 2−26x − 103 = 0. [/ matemáticas]

Ahora viene la parte difícil.

Usando la fórmula cúbica, las raíces de la ecuación anterior son todas reales, y se ajustan a la intuición gráfica anterior. Sin embargo, escribirlos como sobresalientes es monumentalmente complicado, como dice Wolfram Alpha:

Entonces, dejamos que una computadora se aproxime a las soluciones para nosotros (o más bien, dejamos que Wolfram Alpha lo haga):

[matemáticas] x \ aprox -5.1814, x \ aprox -3.9069, x \ aprox 5.0882 [/ matemáticas]

(Nota anecdótica: aunque las soluciones exactas anteriores hacen uso de la unidad imaginaria [matemáticas] i [/ matemáticas], los números reales, cuando se evalúan, son reales, no complejos. De hecho, fue después de este descubrimiento que, a través de números complejos , uno puede obtener soluciones reales, que los matemáticos comenzaron a tomar números complejos más en serio).

Finalmente, sustituimos estos cuatro valores de [matemática] x [/ matemática] en la primera ecuación [matemática] y = 21-x ^ 2 [/ matemática], para obtener el valor correspondiente de [matemática] y [/ matemática] cada valor de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Cuando hacemos esto, obtenemos la respuesta final:

[matemática] x = -5.1814, y = -5.8469; \; [/ matemática] [matemática] x = -3.9069, y = 5.7361; \; [/ matemática] [matemática] x = 4, y = 5; \; [/mathfont>[mathfont>x=5.0882, y = -4.8898. [/ math]

Estas respuestas son las coordenadas de los puntos rojos en el gráfico anterior, comenzando de izquierda a derecha.

Answer 6

Es una ecuación simple y por golpe y prueba podemos encontrar valor para x e y
Aquí x será 4 e y será 5, lo que satisface tanto la ecuación.