Parece que la fórmula de recursión de Legendre es un caso específico de la fórmula general en la que:
[matemáticas] \ alpha_ {k} = \ frac {k} {2k-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ beta_ {k} = 0 \ para todos k [/ matemáticas]
[matemáticas] \ gamma_ {k} = \ frac {2k-1} {2k + 1} [/ matemáticas]
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Una estrategia sería mostrar que estas igualdades son válidas para los polinomios de Legendre.
Llamamos un polinomio impar si solo tiene poderes impares de [math] x, [/ math] y, por lo tanto, es una función impar de [math] x [/ math]; los polinomios pares se definen de la misma manera con ‘impar’ reemplazado por ‘par’.
Para [math] \ beta [/ math], quizás pueda probar que [math] p_n (x) [/ math] es un polinomio impar en [math] x [/ math] iff [math] n [/ math] es impar; igualmente para incluso. En ese caso, [math] p_ {n} (x) \ cdot p_ {n} (x) [/ math] siempre será un polinomio par, multiplicarlo por [math] x [/ math] lo haría extraño polinomio en [matemáticas] x [/ matemáticas]. Una integral de dicho polinomio sobre el dominio [matemática] [- 1,1] [/ matemática] producirá [matemática] 0 [/ matemática].